Question

19．如圖：已知點A、B是反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$上在第二象限內的分支上的兩個點，點C（0，3），且△ABC滿足AC=BC，∠ACB=90°，則線段AB的長為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 過點A作AD⊥y軸于點D，過點B作BE⊥y軸于點E，根據角的計算得出“∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD”，由此證出△ACD≌△CBE；再設點B的坐標為（m，-$\frac{6}{m}$），由三角形全等找出點A的坐標，將點A的坐標代入到反比例函數(shù)解析式中求出m的值，將m的值代入B點坐標即可得出點B的坐標，結合等腰直角三角形的性質以及兩點間的距離公式即可得出結論．

解答 解：過點A作AD⊥y軸于點D，過點B作BE⊥y軸于點E，如圖所示．

∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥y軸，BE⊥y軸，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD．
在△ACD和△CBE中，由$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{AC=CB}\\{∠ACD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．
設點B的坐標為（m，-$\frac{6}{m}$）（m＜0），則E（0，-$\frac{6}{m}$），點D（0，3-m），點A（-$\frac{6}{m}$-3，3-m），
∵點A（-$\frac{6}{m}$-3，3-m）在反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$上，
∴3-m=-$\frac{6}{-\frac{6}{m}-3}$，解得：m=-3，m=2（舍去）．
∴點B的坐標為（-3，2），
∴AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$$\sqrt{（-3-0）^{2}+（2-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的性質、全等三角形的判定及性質、等腰直角三角形的性質以及兩點間的距離公式，解題的關鍵是求出點B的坐標．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，設出反比例函數(shù)圖象上一點的坐標，根據邊角關系表示出來另一點的坐標，再結合點在反比例函數(shù)圖象上得出點的坐標，最后由兩點間的距離公式求出線段的長度即可．