Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為x=1，有如下結(jié)論：
①abc＜0；②a-b+c＞0；③b²＞4ac；④3a-2b+c＜0，則正確的結(jié)論是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1得b=-2a＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得c＞0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（0，0）與（-1，0）之間，則當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，即a-b+c＜0，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用b=-2a得3a-2b+c=7a+c，而a-b+c＜0，即3a+c＜0，則3a-2b+c=3a+c+4a＜0，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（2，0）與（3，0）之間，而對(duì)稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（0，0）與（-1，0）之間，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以②錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac＞0，即b²＞4ac，所以③正確
∵b=-2a，
∴3a-2b+c=3a+4a+c=7a+c，
∵a-b+c＜0，即3a+c＜0，
∴3a-2b+c=7a+c=3a+c+4a＜0，所以④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．