Question

[課本節(jié)選]
反比例函數(shù)y=

k

x

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線兩個(gè)分支分別在一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減�。ê喎Q增減性），反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱（簡稱對稱性）．
【嘗試說理】
我們首先對反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的增減性來進(jìn)行說理．
如圖，當(dāng)x＞0時(shí)，
在函數(shù)圖象上如圖1任意取兩點(diǎn)A、B，設(shè)A（x₁，

k

x1

），B（x₂，

k

x2

），且0＜x₁＜x₂．
下面只需要比較

k

x1

和

k

x2

的大�。�

k

x1

=

k

x2

-

kx1-x2

x1x2

∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，面k＞0．
∴

kx1-x2

x 1x2

，即

k

x2

＜

k

x1

．
這說明：x₁＜x₂時(shí)，

k

x1

＞

k

x2

．也就是：自變量值增大了，對應(yīng)的函數(shù)值反而變小了．
即：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小．
同理：當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小
（1）試說明：反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
【運(yùn)用推廣】
（2）分別寫出二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a常數(shù)）的對稱性和增減性，并進(jìn)行說理．
對稱性：

 

；增減性：

 

；說理：

 

．
（3）
對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0，a、b、c為常數(shù)），請你從增減性的角度，簡要解釋何當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)函數(shù)取得最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)點(diǎn)A（a，b）在函數(shù)圖象上，將其對稱點(diǎn)代入函數(shù)解析式也成立，反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
（2）設(shè)C（c，d），其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C′（-c，d），將兩點(diǎn)橫坐標(biāo)代入解析式得到相同的縱坐標(biāo)，可知其關(guān)于y軸對稱；取點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜0；則ax₁²＞ax₂²，即y₁＜y₂，可見，y軸左側(cè)，y隨x的減小而增大；同理可證，y軸右側(cè)，y隨x的增大而增大．
（3）根據(jù)對稱軸左側(cè)和右側(cè)的坐標(biāo)對應(yīng)的函數(shù)值都比對稱軸對應(yīng)的函數(shù)值大來說理．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A（a，b）在函數(shù)圖象上，則有ab=k，
則函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為A′（-a，-b），
將A′（-a，-b）代入y=

k

x

有，（-a）（-b）=k，
即ab=k，
可見，A和A′關(guān)于原點(diǎn)對稱．

（2）關(guān)于y軸對稱：設(shè)C（c，d），其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C′（-c，d），
將C（c，d）代入y=ax²得，d=ac²；將C′（-c，d）代入y=ax²得，d=a（-c）²=ac²．
可見，函數(shù)關(guān)于y軸對稱；
增減性：取點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜0；
則ax₁²＞ax₂²，
即y₁＜y₂，可見，y軸左側(cè)，y隨x的減小而增大；同理可證，y軸右側(cè)，y隨x的增大而增大．
可見，對稱軸左側(cè)和右側(cè)的坐標(biāo)對應(yīng)的函數(shù)值都比對稱軸對應(yīng)的函數(shù)值大，當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)函數(shù)取得最小值．
故答案為：關(guān)于y軸對稱；y軸左側(cè)，y隨x的減小而增大；y軸右側(cè)，y隨x的增大而增大；

（3）關(guān)于y軸對稱：設(shè)C（c，d），其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C′（-c，d），
將C（c，d）代入y=ax²得，d=ac²；將C′（-c，d）代入y=ax²得，d=a（-c）²=ac²．
可見，函數(shù)關(guān)于y軸對稱；
增減性：取點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜0；
則ax₁²＞ax₂²，
即y₁＜y₂，可見，y軸左側(cè)，y隨x的減小而增大；同理可證，y軸右側(cè)，y隨x的增大而增大．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，參照例題進(jìn)行分析和解答是解題的思路，同時(shí)要熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì)．