Question

3．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得正方形AB′C′D′，則圖中陰影部分面積為（　�。�

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 連接AE．根據(jù)HL易證△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定義得出DE=AD•tan∠DAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．再利用三角形的面積公式求出S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE．

解答 解：設(shè)B′C′與CD交于點(diǎn)E，連接AE．
在△AB′E與△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AB′=AD}\end{array}\right.$，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan∠DAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的判定及性質(zhì)，圖形的面積以及三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．