Question

已知：函數(shù)y=ax²+x+1的圖象與x軸只有一個公共點．
（1）求這個函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖所示，設(shè)二次函數(shù)y=ax²+x+1圖象的頂點為B，與y軸的交點為A，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標(biāo)；
（3）在（2）中，若圓與x軸另一交點關(guān)于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y=ax²+x+1上？若在拋物線上，求出M點的坐標(biāo)；若不在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）此題應(yīng)分兩種情況：①a=0，此函數(shù)是一次函數(shù)，與x軸只有一個交點；
②a≠0，此函數(shù)是二次函數(shù)，可由根的判別式求出a的值，以此確定其解析式；
（2）設(shè)圓與x軸的另一個交點為C，連接PC，由圓周角定理知PC⊥BC；由于PB是圓的直徑，且AB切圓于B，得PB⊥AB，由此可證得△PBC∽△BAO，根據(jù)兩個相似三角形的對應(yīng)直角邊成比例，即可得到PC、BC的比例關(guān)系，可根據(jù)這個比例關(guān)系來設(shè)P點的坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點的坐標(biāo)；
（3）連接CM，設(shè)CM與PB的交點為Q，由于C、M關(guān)于直線PB對稱，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；過M作MD⊥x軸于D，取CD的中點E，連接QE，則QE是Rt△CMD的中位線；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易證得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它們的正切值都等于

1

2

（在（2）題已經(jīng)求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已經(jīng)求出了CB的長，根據(jù)CE、BE的比例關(guān)系，即可求出BE、CE、QE的長，由此可得到Q點坐標(biāo)，也就得到M點的坐標(biāo)，然后將點M代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時，y=x+1，圖象與x軸只有一個公共點（1分）
當(dāng)a≠0時，△=1-4a=0，a=

1

4

，此時，圖象與x軸只有一個公共點．
∴函數(shù)的解析式為：y=x+1或y=

1

4

x²+x+1；（3分）

（2）設(shè)P為二次函數(shù)圖象上的一點，過點P作PC⊥x軸于點C；
∵y=ax²+x+1是二次函數(shù)，由（1）知該函數(shù)關(guān)系式為：
y=

1

4

x²+x+1，
∴頂點為B（-2，0），圖象與y軸的交點
坐標(biāo)為A（0，1）（4分）
∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點B
∴PB⊥AB則∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴

PC

OB

=

BC

AO

，故PC=2BC，（5分）
設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），
∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是鈍角，
∴x＜-2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，
即y=-4-2x，P點的坐標(biāo)為（x，-4-2x）
∵點P在二次函數(shù)y=

1

4

x²+x+1的圖象上，
∴-4-2x=

1

4

x²+x+1（6分）
解之得：x₁=-2，x₂=-10
∵x＜-2，
∴x=-10，
∴P點的坐標(biāo)為：（-10，16）（7分）

（3）點M不在拋物線y=ax²+x+1上（8分）
由（2）知：C為圓與x軸的另一交點，連接CM，CM與直線PB的交點為Q，過點M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ，即QE是中位線．
∴QE∥MD，QE=

1

2

MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x軸
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=

1

2

CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，
故BE=

8

5

，QE=

16

5

∴Q點的坐標(biāo)為（-

18

5

，

16

5

）
可求得M點的坐標(biāo)為（

14

5

，

32

5

）（11分）
∵

1

4

(

14

5

)2+

14

5

+1=

144

25

≠

32

5

∴C點關(guān)于直線PB的對稱點M不在拋物線y=ax²+x+1上．（12分）
（其它解法，仿此得分）

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形的應(yīng)用等重要知識，需要特別注意的是（1）題所求的是函數(shù)y=ax²+x+1，而沒有明確是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，所以要把兩種情況都考慮到，以免漏解．