Question

1．如圖1，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為BO上一點(diǎn)，PE⊥PA分別交AB于F，交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．
（1）求證：PA=PE；
（2）如圖2，M、N分別為AE、BC的中點(diǎn)，連接MN、DE，交于點(diǎn)Q，試判斷QN和QE的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（3）在圖1中，若點(diǎn)F為PE的中點(diǎn)，則tan∠APD的值為3．

Answer 1

分析 （1）過(guò)P作PH⊥BC于H、PG⊥AB于G，證得四邊形BHPG是正方形，得出PH=PG，再由ASA證得△APG≌△EPH，即可得出結(jié)論；
（2）連接OM、BM，OM交DE于F，連接NF，先證明OM是△ACE的中位線，得出OM∥BC，再證明四邊形BNFM是平行四邊形，得出FN=MB，由SAS證明△MEN≌△FNE，得出對(duì)應(yīng)角相等∠MNE=∠FEN，即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)P作PG⊥AB，交AB于點(diǎn)G，由AAS證得△PGF≌△EBF，得出GF=FB，BE=PG=BG=2GF，由△AGP∽△PGF，得出$\frac{AG}{GP}$=$\frac{GP}{GF}$=2，$\frac{AB}{BG}$=3，證得∠APD=∠AEB，即可求出tan∠APD的值．

解答 （1）證明：過(guò)P作PH⊥BC于H、PG⊥AB于G，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠DBH=45°，
∴四邊形BHPG是矩形，△BHP是等腰直角三角形，
∴BH=HP，
∴四邊形BHPG是正方形，
∴PH=PG，
∵∠APE=∠APG+∠GPF=90°，∠EPH+∠GPF=90°，
∴∠APG=∠EPH，
在△APG和△EPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APG=∠EPH}\\{PH=PG}\\{∠AGP=∠EHP=90°}\end{array}\right.$，
∴△APG≌△EPH（ASA），
∴PA=PE；
（2）解：QN=QE；理由如下：
連接OM、BM，OM交DE于F，連接NF，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC，AD∥BC，AD=BC，
∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，
∴OM是△ACE的中位線，
∴OM∥BC，
∴OM∥AD，
∴EF=DF，
∴MF是△ADE的中位線，
∴MF=$\frac{1}{2}$AD，
∴MF=$\frac{1}{2}$BC，
∵N是BC的中點(diǎn)，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC，
∴MF=BN，
∴四邊形BNFM是平行四邊形，
∴FN=MB，
∵∠ABE=90°，
∴MB=$\frac{1}{2}$AE=ME，
∴FN=ME，
即四邊形MENF是等腰梯形，
∴∠MEN=∠FNE，
在△MEN和△FNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ME=FN}\\{∠MEN=∠FNE}\\{EN=EN}\end{array}\right.$，
∴△MEN≌△FNE（SAS），
∴∠MNE=∠FEN，
∴QN=QE；
（3）解：∵F為中點(diǎn)，
∴PF=EF，
過(guò)P作PG⊥AB，交AB于點(diǎn)G，如圖3所示：
在△PGF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GFP=∠BFE}\\{∠PGF=EBF=90°}\\{PF=EF}\end{array}\right.$，
∴△PGF≌△EBF（AAS），
∴GF=FB，PG=BE，
∵∠PBG=45°，
∴BE=PG=BG=2GF，
∵∠GAP+∠APG=90°，∠GPF+∠APG=90°，
∴∠GAP=∠GPF，
∵∠AGP=∠PGF=90°，
∴△AGP∽△PGF，
∴$\frac{AG}{GP}$=$\frac{GP}{GF}$=2，
∴$\frac{AB}{BG}$=3，
∵△PGF≌△EBF，
∴∠GPF=∠FEB=∠GAP，
∵∠APD=∠GAP+∠ABP=∠GAP+45°，
由（1）得：AP=PE，
∴∠AEP=45°，
∴∠AEB=∠FEB+∠AEP=∠GAP+45°，
∴∠APD=∠AEB，
∴tan∠APD=tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AB}{BG}$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要通過(guò)作輔助線才能得出結(jié)論．