Question

7．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠CEM=40°，則∠AME的度數(shù)是30°．

Answer 1

分析 利用角邊角證明△AME與△FMD全等，得到M為EF的中點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，得到∠BEC=∠ECF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出ME=MC，根據(jù)等比對(duì)等角，得到∠MEC=∠MCE=40°，從而得出∠EMC和∠MCD的度數(shù)，再根據(jù)AD=2AB，AD=2MD，所以MD=AB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，即MD=CD，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠DMC的度數(shù)，而要求的角等于上邊求出的∠EMC和∠DMC的和，從而求出答案．

解答 解：延長(zhǎng)EM與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接CM，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，又∠BEC=90°，
∴∠ECF=90°，∠A=MDF，
在△AEM和△DFM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠F}\\{∠AME=∠DMF}\\{AM=DM}\end{array}\right.$
∴△AEM≌△DFM（AAS），
∴EM=FM，
∴CM=EM=$\frac{1}{2}$EF，
∴∠MEC=∠MCE=40°，
∴∠EMC=100°，∠MCD=50°，
又∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，AD=2DC，
∴MD=CD=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠DMC=∠DCM=50°，
∴∠DME=∠EMC+∠DMC=100°+50°=150°，
則∠AME=30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，同時(shí)還要注意等腰三角形的性質(zhì)在做題中的靈活運(yùn)用，得出∠MEC=∠MCE是解題關(guān)鍵．