Question

11．如圖1，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α．（0°＜α＜60°）得到△A₁B₁C，連結(jié)BB₁，AB₁交BC于E點，B₁C₁分別交BC、AC于D、F兩點．
（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出兩對全等的三角形，并選擇其中的一對予以證明（△ABC與△A₁B₁C₁全等除外）；
（2）當(dāng)BE=BB₁時，求此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（3）如圖2，連結(jié)AD，當(dāng)C₁A=C₁D時，判斷此時四邊形ABDC₁的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠ABC=∠ACB=∠C₁=∠AB₁C₁=30°，求出∠BAE=∠C₁AF，根據(jù)ASA推出△ABE≌△AC₁F，由此可得AE=AF，根據(jù)SAS即可得出△AEC≌△AFB₁；
（2）由旋轉(zhuǎn)可得，∠BAB₁=α，AB=AB₁，根據(jù)等腰三角形ABB₁，求得∠BB₁E=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，求得∠BEB₁=∠ABE+∠BAE=30°+α，而當(dāng)BE=BB₁時，∠BEB₁=∠BB₁E，據(jù)此列出方程30°+α=90°-$\frac{1}{2}$α，解得α=40°即可；
（3）先過點A作AG⊥B₁C₁于G，過點A作AH⊥BC于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出AH=AG，進(jìn)而得出AD平分∠BDC₁，再根據(jù)△ADC₁是等腰三角形，求得∠ADC₁=∠DAC₁=75°，進(jìn)而得出∠BDC₁=2×75°=150°，最后判定AC₁∥BC，AB∥C₁D，得出四邊形ABDC₁是平行四邊形，進(jìn)而得出四邊形ABDC₁是菱形．

解答 解：（1）圖中存在兩對全等的三角形：△ABE≌△AC₁F，△AEC≌△AFB₁；
選擇前一對，證明如下：
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=∠C₁=∠AB₁C₁=30°，
∵∠BAC=∠B₁AC₁=120°，
∴∠BAE=∠C₁AF，
在△ABE和△AC₁F中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠{C}_{1}}\\{AB=A{C}_{1}}\\{∠BAE=∠FA{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AC₁F（ASA）；

（2）當(dāng)BE=BB₁時，∠BEB₁=∠BB₁E，
由旋轉(zhuǎn)可得，∠BAB₁=α，AB=AB₁，
∴等腰三角形ABB₁中，∠BB₁E=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠BEB₁是△ABE的外角，
∴∠BEB₁=∠ABE+∠BAE=30°+α，
∴30°+α=90°-$\frac{1}{2}$α，
解得α=40°，
∴旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為40°；

（3）四邊形ABDC₁是菱形．
過點A作AG⊥B₁C₁于G，過點A作AH⊥BC于H，
∵△ABC與△A₁B₁C₁全等，
∴BC=B₁C₁，△ABC與△A₁B₁C₁面積相等，
∴AH=AG，
又∵AG⊥B₁C₁，AH⊥BC，
∴AD平分∠BDC₁，
當(dāng)C₁A=C₁D時，△ADC₁是等腰三角形，
∵∠C₁=30°，
∴∠ADC₁=∠DAC₁=75°，
∴∠BDC₁=2×75°=150°，
∴∠BDC₁+∠B=150°+30°=180°，∠BDC₁+∠C₁=150°+30°=180°，
∴AC₁∥BC，AB∥C₁D，
∴四邊形ABDC₁是平行四邊形，
∵C₁A=C₁D，
∴四邊形ABDC₁是菱形．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形與菱形的判定等，解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法與菱形的判定方法，解題時注意方程思想的運(yùn)用和角平分線的性質(zhì)定理的逆定理的運(yùn)用．