Question

20．已知：如圖，∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．
①求證：BE=CF；
②若AF=6，BC=7，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 ①連接CD，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得BD=CD，可證RT△BDE≌RT△CDF，可得BE=CF；
②根據(jù)Rt△ADE≌Rt△ADF得出AE=AF解答即可．

解答 ①證明：連結(jié)CD，
，
∵D在BC的中垂線上
∴BD=CD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
AD平分∠BAC
∴DE=DF
∠BED=∠DCF=90°
在RT△BDE和RT△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴RT△BDE≌RT△CDF（HL），
∴BE=CF；
②解：由（HL）可得，Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=6，
∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC，
=（AE+BE）+BC+（AF-CF）
=6+7+6
=19．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形全等的判定，考查了垂直平分線的性質(zhì)，考查了角平分線的性質(zhì)，本題中求證RT△BDE≌RT△CDF是解題的關(guān)鍵．