Question

19．如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上任一點，正方形DEFG的一邊DG在直線AB上，另一邊DE過△ABC的內切圓圓心I，且點E在半圓弧上，已知DE=9，則△ABC的面積為81．

Answer 1

分析 根據(jù)切線的性質得到AD=AM，CM=CN=r，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理得到AB²=AC²+BC²，于是得到AD•DB=$\frac{1}{2}$AC•BC，由射影定理得AD•DB=DE²=81，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．

解答 解：設⊙I切AC與M，切BC于N，半徑為r，
則AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB），
∵AB為半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AD•DB=AM•BN=（AC-r）（BC-r）=[AC-$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）][BC-$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）]
=$\frac{1}{4}$（AC-BC+AB）（AB+BC-AC）=$\frac{1}{4}$（AB²-AC²-BC²+2AC•BC）=$\frac{1}{2}$AC•BC，
由射影定理得AD•DB=DE²=81，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=81，
故答案為：81．

點評 本題考查了三角形的內切圓與內心，勾股定理，射影定理，三角形的面積的計算，正確的理解題意是解題的關鍵．