Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、EC，其中∠AEB=24°，AB=4cm．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）線段BE和EC有怎樣的關(guān)系，請說明理由；
（3）求△ABE的面積．

Answer 1

分析 （1）首先證明△EBC是等腰直角三角形，推出∠EAO=∠CBO=45°，利用“8字型”推出∠BCO=∠AEB=24°．
（2）結(jié)論：EB=EC．見（1）中證明；
（3）作EH⊥AD于H．根據(jù)S_△ABE=S_△EDC=$\frac{1}{2}$•CD•EH，計(jì)算即可；

解答 （1）解：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一個銳角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠EAB=∠EDC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EBC=45°，設(shè)BE交AD于O，
∵∠AOE=∠BOC，
∴∠AEO=∠BCO=24°．
（2）結(jié)論：BE=EC．
見（1）中證明．

（3）作EH⊥AD于H．
∵AB=AD=DC=4，△AED是等腰直角三角形，
∴EH=$\frac{1}{2}$AD=2，
∵△EAB≌△EDC，
∴S_△ABE=S_△EDC=$\frac{1}{2}$•CD•EH=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．