Question

11．已知拋物線y₁=ax²+2x+c與直線y₂=kx+b交于點(diǎn)A（-1，0）、B（2，3）．
（1）求a、b、c的值；
（2）直接寫出當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，自變量的范圍是x＜-1或x＞2；
（3）已知點(diǎn)C是拋物線上一點(diǎn)，且△ABC的面積為6，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）判斷拋物線的開口，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得；
（3）求得拋物線與x軸的交點(diǎn)M，則S_△ABM=6，從而判定M出即為C₁點(diǎn)，過M點(diǎn)作AB的平行線交拋物線于C₂，根據(jù)平行線的性質(zhì)判定此時(shí)三角形ABC₂的面積=6，求得平行線與拋物線的交點(diǎn)，即為C點(diǎn)．

解答 解：（1）∵拋物線y₁=ax²+2x+c與直線y₂=kx+b交于點(diǎn)A（-1，0）、B（2，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2+c=0}\\{4a+4+c=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴a=-1，b=1，c=3；
（2）∵a=-1＜0，
∴拋物線的開口向下，
∴x＜-1或x＞2時(shí)，拋物線上的部分在直線的下方，
∴當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，自變量的范圍是x＜-1或x＞2． 
故答案為 x＜-1或x＞2．    
（3）∵a=-1，b=1，c=3；
∴拋物線為y₁=-x²+2x+3，直線為y₂=x+1．
∵令-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M（3，0），
∴AM=4，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$AM×3=6，
∴C₁點(diǎn)與M的重合，
過M點(diǎn)作AB的平行線交拋物線于C₂，
此時(shí)三角形ABC₂的面積=6，
設(shè)平行線的解析式為y=x+n，
∵平行線經(jīng)過（3，0），
∴平行線的解析式為y=x-3，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴C的坐標(biāo)為（3，0）或（-2，-5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知條件求拋物線解析式和直線的解析式，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)，判斷三角形的面積，利用平移的性質(zhì)解題．