Question

5．為滿足市場需求，某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕，購進(jìn)一種品牌粽子，每盒進(jìn)價(jià)是40元．超市規(guī)定每盒售價(jià)不得少于45元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)；當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可以賣出700盒，每盒售價(jià)每提高1元，每天要少賣出20盒．
（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？
（3）為穩(wěn)定物價(jià)，有關(guān)管理部門限定：這種粽子的每盒售價(jià)不得高于58元．如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售粽子多少盒？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可以賣出700盒，每盒售價(jià)每提高1元，每天要少賣出20盒”即可得出每天的銷售量y（盒）與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)利潤=1盒粽子所獲得的利潤×銷售量列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）先由（2）中所求得的P與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)這種粽子的每盒售價(jià)不得高于58元，且每天銷售粽子的利潤不低于6000元，求出x的取值范圍，再根據(jù)（1）中所求得的銷售量y（盒）與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式即可求解．

解答 解：（1）由題意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600；

（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x²+2400x-64000=-20（x-60）²+8000，
∵x≥45，a=-20＜0，
∴當(dāng)x=60時(shí)，P_最大值=8000元，
即當(dāng)每盒售價(jià)定為60元時(shí)，每天銷售的利潤P（元）最大，最大利潤是8000元；

（3）由題意，得-20（x-60）²+8000=6000，
解得x₁=50，x₂=70．
∵拋物線P=-20（x-60）²+8000的開口向下，
∴當(dāng)50≤x≤70時(shí)，每天銷售粽子的利潤不低于6000元的利潤．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=-20x+1600中，k=-20＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=58時(shí)，y_最小值=-20×58+1600=440，
即超市每天至少銷售粽子440盒．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要利用了利潤=1盒粽子所獲得的利潤×銷售量，求函數(shù)的最值時(shí)，注意自變量的取值范圍．