Question

小明在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)的時(shí)候，老師留了這樣一道思考題：如圖a，若點(diǎn)A，B在直線(xiàn)m同側(cè)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P，使得AP+BP的值最小，小明通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確方法，他的做法是這樣的：
 ①作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′；②連接AB′，與直線(xiàn)m的交點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求線(xiàn)段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．
請(qǐng)你參考小明的做法解決下列問(wèn)題：

（1）如圖b，在等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上作出點(diǎn)P．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法），使得BP+PE的值最小，并求出最小值；
（2）如圖c，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G為邊AD的中點(diǎn)，若E，F(xiàn)為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，且EF=1，當(dāng)四邊形CGEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)你在圖c中確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法），并求出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用軸對(duì)稱(chēng)作出E點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接E′B即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，要求BP+PE的值最小值，利用已知由勾股定理求出即可；
（2）利用已知可以得出GC，EF長(zhǎng)度不變，求出GE+CF最小時(shí)即可得出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值，利用軸對(duì)稱(chēng)得出E，F(xiàn)位置，即可求出．

解答：解：（1）如圖b，作E點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接BE′，交AD于點(diǎn)P，連接EP，
∵在等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，
∴E′為AC的中點(diǎn)，
∴BE′⊥AC，
BE′=EP+BP=

BC2-E′C2

=

22-12

=

3

；

（2）如圖c，作G關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，
在CD上截取CH=1，然后連接HM交AB于E，
在EB上截取EF=1，
那么E、F兩點(diǎn)即可滿(mǎn)足使四邊形CGEF的周長(zhǎng)最�。�
∵AB=4，BC=6，G為邊AD的中點(diǎn)，
∴DG=AG=AM=3，
∵AE∥DH，
∴

AE

DH

=

AM

DM

，
∴

AE

CD-HC

=

1

3

，

AE

3

=

1

3

，
故AE=1，
∴GE=

12+32

=

10

，
BF=2，CF=

BF2+BC2

=

22+62

=2

10

，
CG=

DC2+DG2

=5，
∴C_{四邊形GEFC}=GE+EF+FC+CG=6+3

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑問(wèn)題以及勾股定理等知識(shí)，利用GE+CF最小時(shí)即可得出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值得出E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．