Question

20．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB₂=
|x₂-x₁|²+|y₂-y₁|²，所以A，B兩點(diǎn)間的距離為：AB=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$
我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為OA²=|x-0|²+|y-0|²，當(dāng)⊙O的半徑為r時(shí)，⊙O的方程可寫為：x²+y²=r²．
問(wèn)題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為（x-a）²+（y-b）²=r²．
綜合應(yīng)用：
如圖3，⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），A是⊙P上一點(diǎn)，連接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足為D，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)B，連接AB．
①證明：AB是⊙P的切線；
②是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙Q的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 問(wèn)題拓展：直接根據(jù)圓的定義即可得出結(jié)論；
綜合應(yīng)用：①先判斷出△POB≌△PAB，即可得出結(jié)論；
②先得出點(diǎn)Q是BP中點(diǎn)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，

解答 解：?jiǎn)栴}拓展：根據(jù)圓的定義得，（x-a）²+（y-b）²=r²，
故答案為：（x-a）²+（y-b）²=r²，

綜合應(yīng)用：①∵PO=PA    PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD，
在△POB和△PAB中 $\left\{\begin{array}{l}{PO=PA}\\{∠OPB=∠APB}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△PAB，
∴∠PAB=∠POB=90°，
∴PA⊥AB
∴AB是⊙P的切線，

②存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q，
當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時(shí)
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=QA=QB
∴此時(shí)點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等
∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°
∴∠PBO=30°．
∴在Rt△POB中，OP=6，
∴OB=$\sqrt{3}$OP=6$\sqrt{3}$，PB=2PO=12
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6$\sqrt{3}$，0），
∵Q是PB中點(diǎn)，P（0，6），B（6$\sqrt{3}$，0），
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3$\sqrt{3}$，3）
∴OQ=$\frac{1}{2}$PB=6
∴以Q為圓心，OQ為半徑的⊙Q的方程為（x-3$\sqrt{3}$）²+（y-3）²=36．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了新定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，含30°的直角三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出△POB≌△PAB，解（2）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，是一道中等難度的題目．