Question

4．如圖，直線y=-2x+1與y軸交于點B，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于點C，作CA⊥x軸于A，AB=$\sqrt{5}$，點D（n，2）在雙曲線上，
（1）求k和n的值；
（2）在x軸上確定點M，使DM=DC，求點M的坐標；
（3）點P、Q分別在x軸和雙曲線上，若以P、Q、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，畫出示意圖并直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先利用勾股定理求出點A坐標，再求出點C坐標，即可求出k，再利用待定系數(shù)法求出n即可．
（2）如圖1中，作DH⊥x軸于H．在Rt△DHM中，DH=2，DM=3$\sqrt{2}$，推出HM=$\sqrt{D{M}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{14}$，推出點M的坐標為（$\sqrt{14}$-5，0）或（-5-$\sqrt{14}$，0）．
（3）如圖2中，過D作DN∥y軸，CN∥x軸，QM⊥x軸于M．由PQ=CD，PQ∥CD，易證△CDN≌△PQM，推出PM=QM=DN=CN=3，當y=3時，3=-$\frac{10}{x}$，可得x=-$\frac{10}{3}$，推出M（-$\frac{10}{3}$，0），可得P（-$\frac{19}{3}$，0），當P′Q′∥CD，P′Q′=CD時，同法可得P′（$\frac{19}{3}$，0）．

解答 解：（1）∵直線y=-2x+1與y軸交于點B，
∴B（0，1），
在Rt△ABO中，∵AB=$\sqrt{5}$，OB=1，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{5-1}$=2，
∴A（-2，0），C（-2，5），
把C（-2，5）代入y=$\frac{k}{x}$，5=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-10，
∴y=-$\frac{10}{x}$，
∵點D（n，2）在雙曲線上，
∴2=-$\frac{10}{n}$，
∴n=-5．
∴k=-10，n=-5．

（2）如圖1中，作DH⊥x軸于H．

∵DC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
在Rt△DHM中，DH=2，DM=3$\sqrt{2}$，
∴HM=$\sqrt{D{M}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴點M的坐標為（$\sqrt{14}$-5，0）或（-5-$\sqrt{14}$，0）．

（3）如圖2中，過D作DN∥y軸，CN∥x軸，QM⊥x軸于M．

∵C（-2，5），D（-5，2），
∴CD=3$\sqrt{3}$，
∵PQ=CD，PQ∥CD，易證△CDN≌△PQM，
∴PM=QM=DN=CN=3，
當y=3時，3=-$\frac{10}{x}$，
∴x=-$\frac{10}{3}$，
∴M（-$\frac{10}{3}$，0），
∴P（-$\frac{19}{3}$，0），
當P′Q′∥CD，P′Q′=CD時，
同法可得P′（$\frac{19}{3}$，0）．
綜上所述，滿足條件的點P坐標（$\frac{19}{3}$，0）或（-$\frac{19}{3}$，0）．

點評 本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題．