Question

17．【探究問(wèn)題】正△ABC的邊長(zhǎng)為8cm，AD是它的高線．
（1）如圖（1），點(diǎn)P、Q分別是正△ABC的邊AB和高AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求BQ+QP的最小值；
（2）如圖（2），點(diǎn)M是正△ABC高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AM為何值時(shí)，$\frac{1}{2}$AM+MC最��？并求出這個(gè)最小值；
【解決問(wèn)題】如圖（3），A、B兩地相距100km，AC是一條沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路．點(diǎn)B到AC的最短距離為60km．今計(jì)劃在鐵路線AC上修一個(gè)中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路到B地．如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍．那么，為使通過(guò)鐵路由A到M再通過(guò)公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，請(qǐng)求出AM的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作BR⊥AC，交AD于點(diǎn)Q，AC與點(diǎn)R，找出R關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)P，則BQ+QP的值最小；
（2）根據(jù)題意得出C，M，N在一條直線上時(shí)，此時(shí)$\frac{1}{2}$AM+MC最小，進(jìn)而求得即可；
（3）作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，在AC異于點(diǎn)B的M，設(shè)出CM的長(zhǎng)，然后表示出AM和利用勾股定理表示出BD的長(zhǎng)，再表示出總費(fèi)用，求出其最小值即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，

作BR⊥AC，交AD于點(diǎn)Q，AC與點(diǎn)R，作R關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)P，
∵P、R關(guān)于AD的對(duì)稱，
∴PQ=QR，
∴BQ+QP=BQ+QR=BR=8•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
即BQ+QP的最小值為4$\sqrt{3}$；

（2）如圖2，

作CN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M，此時(shí)$\frac{1}{2}$AM+MC最小，最小為CN的長(zhǎng)．
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正△ABC，
∴CN=BC•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴MN+CM=$\frac{1}{2}$AM+MC=4$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$AM+MC的最小值為4$\sqrt{3}$．

（3）如圖，

設(shè)物資在每千米鐵路上運(yùn)輸費(fèi)為1．公路上的費(fèi)用為2．
AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}-6{0}^{2}}$=80，
令MD=x，則AM=80-x，
BM=$\sqrt{{x}^{2}+6400}$，
∴總費(fèi)用y=AM+2BM=80-x+2$\sqrt{{x}^{2}+6400}$，
即y²+x²+6400+2xy-160x-160y=25600+4x²
化簡(jiǎn)得：3x²-2xy+160x-y²+160y+19800=0，
關(guān)于x的方程△≥O，
即：y²-160y-13250≥0
又∵y最小，
∴y=80+60$\sqrt{3}$．
x=20$\sqrt{3}$，
AM=80-20$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，利用軸對(duì)稱作最短路線，正三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理等知識(shí)，利用特殊角的三角函數(shù)關(guān)系得出結(jié)論是解題關(guān)鍵．