Question

矩形ABCD中，AB=4，tan∠DBC=

4

3

，E為CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線E-D-B運(yùn)動，速度為每秒2個(gè)單位長度，若點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s），△CMN的面積為S．
（1）求BC和BD的長；
（2）求運(yùn)動過程中S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運(yùn)動過程中，有時(shí)，一個(gè)S值，有兩個(gè)t值與之對應(yīng)；有時(shí)，一個(gè)S值，只有一個(gè)t值與之對應(yīng)．請寫出“一個(gè)S值，只有一個(gè)t值與之對應(yīng)”時(shí)，S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得CD=AB=4，∠BCD=90°，在Rt△BCD中，利用正切的定義可計(jì)算出BC=3，然后利用勾股定理可計(jì)算出BD=5；
（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)N在DE上，即0≤t≤1時(shí)，如圖1，根據(jù)三角形面積公式得到S=-t²+2t+3；
當(dāng)點(diǎn)N在DB上，即1＜t≤3時(shí)，如圖2，作NH⊥BC于H，則BN=5+2-2t=7-2t，先證明△BNH∽△BDC，利用相似比得到NH=

4

5

（7-2t），再根據(jù)三角形面積公式得到
S=

4

5

t²-

26

5

t+

42

5

；
（3）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=-t²+2t+3=-（t-1）²+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)S隨t的增大而增大，得到S的范圍為3≤S≤4；當(dāng)1＜t≤3時(shí)，S=

4

5

t²-

26

5

t+

42

5

，
拋物線的對稱軸為直線x=

13

4

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)S隨t的增大而減小，易得S的范圍為0≤S＜4，于是得到當(dāng)0≤S＜3時(shí)，只有一個(gè)t值與S對應(yīng)．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=4，∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，∵tan∠DBC=

CD

BC

=

4

3

，
∴BC=3，
∴BD=

BC2+CD2

=5；
（2）∵E為CD邊的中點(diǎn)，
∴DE=CE=2，
當(dāng)點(diǎn)N在DE上，即0≤t≤1時(shí)，如圖1，AM=t，MC=3-t，EN=2t，
∴S=

1

2

MC•CN=

1

2

（3-t）•（2+2t）=-t²+2t+3；
當(dāng)點(diǎn)N在DB上，即1＜t≤3時(shí)，如圖2，作NH⊥BC于H，則BN=5+2-2t=7-2t，
∵NH∥BC，
∴△BNH∽△BDC，
∴

NH

DC

=

BN

BD

，即

NH

4

=

7-2t

5

，
∴NH=

4

5

（7-2t），
∴S=

1

2

MC•NH=

1

2

（3-t）•

4

5

（7-2t）=

4

5

t²-

26

5

t+

42

5

，
綜上所述，S=

-t2+2t+3(0≤t≤1) 4 5 t2- 26 5 t+ 42 5 (1＜t≤3)

；
（3）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=-t²+2t+3=-（t-1）²+4，
當(dāng)t=0時(shí)，S=3；當(dāng)t=1時(shí)，S=4，
所以S的范圍為3≤S≤4；
當(dāng)1＜t≤3時(shí)，S=

4

5

t²-

26

5

t+

42

5

，
拋物線的對稱軸為直線x=-

- 26 5

2× 4 5

=

13

4

，
而當(dāng)t=1時(shí)，S=4；當(dāng)t=3時(shí)，S=0，
所以S的范圍為0≤S＜4，
所以當(dāng)0≤S＜3時(shí)，只有一個(gè)t值與S對應(yīng)．

點(diǎn)評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形的性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算；記住三角形面積公式；
理解分類討論的思想在數(shù)學(xué)的應(yīng)用．