Question

19．如圖，在矩形ABCD中．AB=3cm．Bc=4cm．動(dòng)點(diǎn)P以2cm/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA向點(diǎn)A移動(dòng)．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1cm/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B移動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)t秒．
（1）△APQ與△ABC相似時(shí)t的值為$\frac{25}{13}$或$\frac{15}{11}$；
（2）求四邊形BCPQ的面積s（cm²）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系式：
（3）求△APQ為等腰三角形時(shí)t的值；
（4）以P為圓心PC為半徑的圓與以Q為圓心．QA為半徑的圓相切時(shí)．直接寫(xiě)出t的值1或$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)勾股定理求得AC=5cm，由題意可知AQ=t，PC=2t，則AP=5-2t，接下來(lái)，依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列方程求解即可；
（2）如圖1：過(guò)點(diǎn)作PE⊥AB，垂足為E，用含t的式子表示出PE的長(zhǎng)，然后依據(jù)四邊形QBCP的面積=△ABC的面積-△AQP的面積可得到函數(shù)關(guān)系式；
（3）由題意可知AQ=t，PA=5-2t，①當(dāng)AQ=AP時(shí)，則t=5-2t，故此可求得t的值；當(dāng)AP=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，由等腰三角形的性質(zhì)可知AE=$\frac{1}{2}$t，然后依據(jù)$\frac{AE}{AP}=\frac{3}{5}$可得到關(guān)于t的方程；當(dāng)AQ=QP時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AP．由等腰三角形的性質(zhì)可知AE=2.5-t，依據(jù)$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{3}{5}$，可得到關(guān)于t的方程；（4）當(dāng)⊙A與⊙P外切時(shí)，AE=AQ=t，EC=2PC=4t，然后依據(jù)AE+EC=5列方程求解即可；當(dāng)⊙A與⊙P內(nèi)切時(shí)，AE=AQ=t，EC=2PC=4t，然后由EC-AE=5列方程求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，依據(jù)勾股定理可知：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5cm．
由題意可知AQ=t，PC=2t，則AP=5-2t．
當(dāng)△APQ∽△ABC時(shí)，$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{t}{5}=\frac{5-2t}{3}$，解得t=$\frac{25}{13}$．
當(dāng)△APQ∽△ACB時(shí)，$\frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AB}$即，$\frac{5-2t}{t}=\frac{5}{3}$，解得：t=$\frac{15}{11}$．
故答案為：$\frac{25}{13}$或$\frac{15}{11}$．

（2）如圖1：過(guò)點(diǎn)作PE⊥AB，垂足為E．

∵sin∠EAP=$\frac{EP}{AP}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∴PE=$\frac{4}{5}$AP=$\frac{4}{5}$（5-2t）=4-$\frac{8}{5}$t．
∴四邊形QBCP的面積=△ABC的面積-△AQP的面積=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}×$t×（4-$\frac{8}{5}$t）=$\frac{4}{5}$t²-2t+6，
即S=$\frac{4}{5}$t²-2t+6．

（3）當(dāng)AQ=AP時(shí)，則t=5-2t，解得t=$\frac{5}{3}$；
當(dāng)AP=PQ時(shí)，如圖2所示：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E．

∵PA=PQ，PE⊥AB，
∴AE=QE=$\frac{1}{2}$t．
∵$\frac{AE}{AP}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}t}{5-2t}$=$\frac{3}{5}$，解得：t=$\frac{30}{17}$．
當(dāng)AQ=QP時(shí)，如圖3所示：過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AP．

∵AQ=QP，QE⊥AP，
∴AE=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（5-2t）=2.5-t．
∵$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{2.5-t}{t}=\frac{3}{5}$，解得t=$\frac{25}{16}$．
綜上所述，當(dāng)t為$\frac{5}{3}$或$\frac{30}{17}$或$\frac{25}{16}$時(shí)，△APQ為等腰三角形．

（4）如圖4所示：當(dāng)⊙A與⊙P外切時(shí)，AE=AQ=t，EC=2PC=4t．

∵AE+EC=5，
∴t+4t=5，解得t=1．
如圖5所示：當(dāng)⊙A與⊙P內(nèi)切時(shí)，AE=AQ=t，EC=2PC=4t．

∵AC=EC-AE，
∴4t-t=5，解得t=$\frac{5}{3}$．
綜上所述，當(dāng)t=1或t=$\frac{5}{3}$時(shí)，兩圓相切．
故答案為：1或$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系，分類(lèi)討論是解答本題的關(guān)鍵．