Question

5．如圖，在平面直角坐標xOy內，函數y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m是常數）的圖象經過A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過點A作x軸垂線，垂足為C，過點B作y軸垂線，垂足為D，連結AD，DC，CB．
（1）求m的值；
（2）求證：DC∥AB；
（3）當AD=BC時，求直線AB的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）直接把點A（1，4）代入反比例函數y=$\frac{m}{x}$，求出m的值即可；
（2）設BD，AC交于點E，利用銳角三角函數的定義得出tan∠EAB=tan∠ECD，進而可得出結論；
（3）根據DC∥AB，當AD=BC時，有兩種情況：
①當AD∥BC時，由中心對稱的性質得出a的值，故可得出點B的坐標，利用待定系數法求出直線AB的函數表達式即可；
②當AD與BC所在直線不平行時，由軸對稱的性質得：BD=AC，求出a的值，故可得出點B的坐標，
設直線AB的函數表達式為y=kx+b，分別把點A，B的坐標代入，利用待定系數法求出直線AB的函數表達式即可．

解答 解：（1）∵函數$y=\frac{m}{x}$（x＞0，m是常數）圖象經過A（1，4），
∴m=4；

（2）解法1，設BD，AC交于點E，
∵在Rt△AEB中，tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{a-1}{4-\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$；
在Rt△CED中，tan∠ECD=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$；
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．
解法2，設BD，AC交于點E，根據題意，可得B點的坐標為（a，$\frac{4}{a}$），D點的坐標為（0，$\frac{4}{a}$），E點的坐標為（1，$\frac{4}{a}$）．
∵a＞0，AE=4-$\frac{4}{a}$，CE=$\frac{4}{a}$，EB=a-1，ED=1；
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{4-\frac{4}{a}}{\frac{4}{a}}$=a-1，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{EB}{ED}$=a-1．
又∵∠AEB=∠CED；
∴△AEB∽△CED
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．

（3）解法1，∵DC∥AB，
∴當AD=BC時，有兩種情況：
①當AD∥BC時，由中心對稱的性質得：BE=DE，則a-1=1，得a=2．
∴點B的坐標是（2，2）．
設直線AB的函數表達式為y=kx+b，分別把點A，B的坐標代入，得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$
∴直線AB的函數表達式是y=-2x+6．
②當AD與BC所在直線不平行時，由軸對稱的性質得：BD=AC，
∴a=4，
∴點B的坐標是（4，1）．
設直線AB的函數表達式為y=kx+b，分別把點A，B的坐標代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$
∴直線AB的函數表達式是y=-x+5．
綜上所述，所求直線AB的函數表達式是y=-2x+6或y=-x+5．
解法2，當AD=BC時，AD²=BC²．
在Rt△AED中，AD²=AE²+DE²；  在Rt△BEC中，BC²=BE²+CE²
∴${（4-\frac{4}{a}）^2}+{1^2}={（a-1）^2}+{（\frac{4}{a}）^2}$，
整理得：a³-2a²-16a-32=0，
∴（a-2）（a+4）（a-4）=0；
∴a=2或a=-4或a=4，
∵a＞1，
∴a=2或a=4．
①當a=2時，點B的坐標是（2，2）．
設直線AB的函數表達式為y=kx+b，分別把點A，B的坐標代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$
∴直線AB的函數解析式是y=-2x+6．
②當a=4時，點B的坐標是（4，1）．
設直線AB的函數解析式為y=kx+b，分別把點A，B的坐標代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$
∴直線AB的函數表達式是y=-x+5．
綜上所述，所求直線AB的函數表達式是y=-2x+6或y=-x+5．

點評 本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數圖象上點的坐標特點、用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式等知識，難度適中．