Question

20．如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，點(diǎn)D在BC上，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BA或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BA交AC或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF．若DF⊥AC，則BD=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠B=30°，BH=CH，則利用三角形外角性質(zhì)得∠EAF=2∠B=60°，根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得AH=$\frac{1}{2}$AB=1，BH=$\sqrt{3}$AH=$\sqrt{3}$，所以BC=2BH=2$\sqrt{3}$，同樣可得AF=2AE，DF=$\frac{1}{2}$CD，CF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，設(shè)BD=x，則CD=2$\sqrt{3}$-x，在Rt△BDE中，根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，BE=2DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，則AE=BE-AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2，然后利用x表示出AF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-4，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$-x），最后利用AF+CF=AC列方程$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$-x）=2，再解方程求出x即可．

解答 解：作AH⊥BC于H，如圖，
∵AB=AC=2，
∴∠C=∠B=30°，BH=CH，
∴∠EAF=2∠B=60°，AH=$\frac{1}{2}$AB=1，BH=$\sqrt{3}$AH=$\sqrt{3}$，
∴BC=2BH=2$\sqrt{3}$，
∵EF⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AEF=90°，∠DFC=90°，
∴AF=2AE，DF=$\frac{1}{2}$CD，CF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，
設(shè)BD=x，則CD=2$\sqrt{3}$-x，
在Rt△BDE中，DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴BE=2DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴AE=BE-AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2，
∴AF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-4，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$-x），
∵AF+CF=AC，
∴$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$-x）=2，
解得x=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
即BD的長(zhǎng)為$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．
故答案為$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．