Question

10．已知：如圖1，四邊形ABCD中，∠D=90°，∠B=∠C，點(diǎn)E在直線BC上，點(diǎn)F在直線CD上，且∠AEB=∠CEF．

（1）若AE平分∠BAD，求證：EF⊥AE．
（2）如圖2，若AE平分∠BAD的外角，其余條件不變，判斷（1）中結(jié)論是否結(jié)論？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAE=180°-∠B-∠AEB，∠EFC=180°-∠C-∠CEF，由∠B=∠C，∠AEB=∠CEF，得到∠BAE=∠EFC，再由角平分線定義得出∠BAE=∠DAE，等量代換得到∠EFC=∠DAE．由平角的定義得出∠EFC+∠EFD=180°，那么∠DAE+∠EFD=180°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠AEF+∠D=360°-（∠DAE+∠EFD）=180°，進(jìn)而得到∠AEF=90°，由垂直的定義證明出EF⊥AE；
（2）如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，由∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，得到∠1=∠F，再由角平分線定義得出∠1=∠2，等量代換得到∠F=∠2．由平角的定義得出∠2+∠EAD=180°，那么∠F+∠EAD=180°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠AEF+∠D=360°-（∠F+∠EAD）=180°，進(jìn)而得到∠AEF=90°，由垂直的定義得出EF⊥AE．

解答 （1）證明：如圖1，∵∠BAE=180°-∠B-∠AEB，∠EFC=180°-∠C-∠CEF，
∠B=∠C，∠AEB=∠CEF，
∴∠BAE=∠EFC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠EFC=∠DAE．
∵∠EFC+∠EFD=180°，
∴∠DAE+∠EFD=180°，
∴∠AEF+∠D=360°-（∠DAE+∠EFD）=180°，
∵∠D=90°，
∴∠AEF=90°，
∴EF⊥AE；

（2）解：如圖2，若AE平分∠BAD的外角，其余條件不變，（1）中結(jié)論沒有變化．理由如下：
∵∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，
∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，
∴∠1=∠F，
∵AE平分∠BAD的外角，
∴∠1=∠2，
∴∠F=∠2．
∵∠2+∠EAD=180°，
∴∠F+∠EAD=180°，
∴∠AEF+∠D=360°-（∠F+∠EAD）=180°，
∵∠D=90°，
∴∠AEF=90°，
∴EF⊥AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，三角形、四邊形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線、垂直的定義，理清各角之間的關(guān)系，得出∠AEF+∠D=180°是解題的關(guān)鍵．