Question

4．已知：在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=10，把一個含60°角的三角尺與這個菱形重疊，使三角尺60°角的頂點與點A重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD所在直線相交于點E、F，設BE=x，DF=y．

（1）如圖1，當點E、F分別在邊BC、CD上時，
①求y與x之間的函數(shù)關系式；
②三角尺在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形AECF面積是否保持不變？請說明理由；
③連接EF，三角尺在旋轉(zhuǎn)過程中，△AEF的面積是否存在最小值？若存在，直接寫出∠BAE的度數(shù)；若不存在，請說明理由；
（2）如圖2，當點E、F分別在邊BC、CD的延長線上時，請你直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）①連接AC，證明△BAE≌△CAF，得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關系式；
②根據(jù)△BAE≌△CAF，得到四邊形AECF面積=△ABC的面積，得到答案；
③根據(jù)△CEF的面積最大時，△AEF的面積最小，求出△CEF的面積最大時x的值即可；
（2）連接AC，證明△CAE≌△DAF即可．

解答 解：（1）①如圖1，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE，
∴y=10-x；
②∵△BAE≌△CAF，
∴四邊形AECF面積=△AEC的面積+△ACF的面積=△AEC的面積+△ABE的面積=△ABC的面積，
∴四邊形AECF面積保持不變；
③存在．
∵四邊形AECF面積保持不變，
∴△CEF的面積最大時，△AEF的面積最小，
作FG⊥BC交BC的延長線于G，
△CEF的面積=$\frac{1}{2}$×EC×FG=$\frac{1}{2}$×（10-x）×x×sin60°=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x，
當x=5時，△CEF的面積最大，△AEF的面積最小，
∴點E為BC的中點，
∴∠BAE=30°；
（2）如圖2，連接AC，
由（1）①得，△CAE≌△DAF，
∴CE=DF，
∴y=x-10．

點評 本題考查的是菱形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握菱形的四條邊相等、一組對角線平分一組對角是解題的關鍵，注意二次函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．