Question

3．如圖，一組拋物線的頂點(diǎn)A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…A_n（x_n，y_n）（n為正整數(shù)）依次是反比例函數(shù)y=$\frac{9}{x}$圖象上的點(diǎn)，第一條拋物線以A₁（x₁，y₁）為頂點(diǎn)且過點(diǎn)O（0，0），B₁（2，0），等腰△A₁OB₁為第一個(gè)三角形；第二條拋物線以A₂（x₂，y₂）為頂點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)B₁（2，0），B₂（4，0），等腰△A₂B₁B₂為第二個(gè)三角形；…；第n條拋物線以A_n（x_n，y_n）為頂點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)B_n-1（2n-2，0），B_2n（2n，0），等腰△A_nB_n-1B_n為第n個(gè)三角形．
（1）求第一條拋物線的解析式；
（2）第幾個(gè)三角形的面積為整數(shù)？
（3）若第n條拋物線為y=a_nx²+b_nx+c_n滿足b_n+c_n=2a_n，求n的值；
（4）若第m個(gè)三角形和第n個(gè)三角形頂角互補(bǔ)，直接寫出m、n（m＞n）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易求得到A₁（1，9），則設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+9，把O（0，0）代入該函數(shù)解析式即可求得a的值；
（2）根據(jù)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可以求得每一個(gè)等腰三角形的底邊長；由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可以得到該底上的高線，然后利用三角形的面積公式得到第n個(gè)等腰三角形的面積公式，然后取整即可；
（3）設(shè)第n條拋物線的解析式為頂點(diǎn)式：y=a_n（x-2n+1）²+$\frac{9}{2n-1}$．把點(diǎn)（2n，0）代入函數(shù)解析式得到：a_n=-$\frac{9}{2n-1}$．利用換元思想將該解析式轉(zhuǎn)化為y=-m（x-2n+1）²+m=-mx²+m（4n-2）x-m（2n-1）²+m．則結(jié)合已知條件可以推知4n-2-（2n-1）²+1=-2由此可以求得n的值；
（4）根據(jù)作第m個(gè)三角形和第n個(gè)三角形底邊上的高A_mC和A_nD，構(gòu)建相似三角形△A_mCB_m-1∽△A_nDB_n-1，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來求m、n的值．注意m、n都是正整數(shù)．

解答 解：（1）∵第一條拋物線過點(diǎn)O（0，0），B₁（2，0），
∴該拋物線的對(duì)稱軸是x=1．
又∵頂點(diǎn)A₁（x₁，y₁）在反比例函數(shù)y=$\frac{9}{x}$圖象上，
∴y₁=9，
即第一條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，9）．
故設(shè)該拋物線為y=a（x-1）²+9（a≠0），
把點(diǎn)O（0，0）代入，得到：0=a+9，
解得 a=-9．
所以第一條拋物線的解析式是y=-9（x-1）²+9；
（2）第一個(gè)等腰三角形的底邊長為：2，高長為：$\frac{9}{\frac{2+0}{2}}$=$\frac{9}{1}$，面積為：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{1}$=$\frac{9}{2×1-1}$；
第二個(gè)等腰三角形的底邊長為：2，高長為：$\frac{9}{\frac{4+2}{2}}$=$\frac{9}{3}$，面積為：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{3}$=$\frac{9}{2×2-1}$；
第三個(gè)等腰三角形的底邊長為：2，高長為：$\frac{9}{\frac{6+4}{2}}$=$\frac{9}{5}$，面積為：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{5}$=$\frac{9}{2×3-1}$；
…
第n等腰三角形的底邊長為：2，高長為：$\frac{9}{2n-1}$，面積為：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{2n-1}$=$\frac{9}{2×3-1}$；
即第n個(gè)三角形的面積是$\frac{9}{2n-1}$．
當(dāng)n=1，2，5時(shí)為整數(shù)；
（3）設(shè)第n條拋物線的解析式為y=a_n（x-2n+1）²+$\frac{9}{2n-1}$．
又∵過點(diǎn)（2n，0），
∴a_n=-$\frac{9}{2n-1}$．
設(shè)$\frac{9}{2n-1}$=m，
∴y=-m（x-2n+1）²+m=-mx²+m（4n-2）x-m（2n-1）²+m．
∵第n條拋物線為y=a_nx²+b_nx+c_n滿足b_n+c_n=2a_n，
∴m（4n-2）-m（2n-1）²+m=-2m，
4n-2-（2n-1）²+1=-2，n=2；

（4）作第m個(gè)三角形和第n個(gè)三角形底邊上的高A_mC和A_nD，
∵頂角互補(bǔ)，
∴底角互余．
即△A_mCB_m-1∽△A_nDB_n-1，
∴$\frac{1}{\frac{9}{2n-1}}$=$\frac{\frac{9}{2m-1}}{1}$，即（2m-1）（2n-1）=81，
∵m、n都是正整數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=41}\\{n=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=14}\\{n=2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)．整個(gè)解題過程，利用拋物線的對(duì)稱軸和反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征來求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵，此題綜合性強(qiáng)，有一定的難度．