Question

18．已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)AC，BC，D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向右作正方形CDEF，連結(jié)BF．若S_△OBC=8，AC=BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）試判斷線段BF與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)D點(diǎn)沿x軸正方向由點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E也隨著運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)E所走過(guò)的路線長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為y軸，則b=0；然后利用方程與二次函數(shù)的關(guān)系求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，由S_△OBC=8可以求得c的值；
（2）由拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+4交x軸于點(diǎn)A、B，當(dāng)x=0，求出圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及y=0，求出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出三角形的形狀；首先證明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）由（2）知，點(diǎn)E在定直線上，當(dāng)點(diǎn)D沿x軸正方向移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E所走過(guò)的路程長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由AC=BC，可知此拋物線的對(duì)稱軸是y軸，
即b=0，
所以C（0，c）、B（$\sqrt{4c}$，0），
由S_△OBC=$\frac{1}{2}$×OB×OC=8，
得c=4，
拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+4；

（2）BF⊥AB，
理由：由（1）得C（0，4）、B（4，0），
所以∠ACB=2∠OCB=2×45°=90°，
在△ADC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BFC（SAS），
∴∠FBC=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）作EM⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，
∵∠ODC+∠EDM=90°，∠MDE+∠DEM=90°，
∴∠ODC=∠DEM，
在△ODC和△MED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠DNE}\\{∠ODC=∠DEM}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴△ODC≌△MED（AAS），
∴DM=OC=4，OD=EM，
又∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM，
∵∠FMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°，
∴∠FBE=45°，
∴點(diǎn)E所走過(guò)的路線長(zhǎng)等于BC=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（3）中弄清點(diǎn)E所走過(guò)的路程是解題的關(guān)鍵．