Question

4．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF．
（1）如圖①所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個(gè)條件是（至少說出兩種）：∠BAE=90°或者∠EAC=∠ABC．
（2）如圖②所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷．

Answer 1

分析 （1）求出∠BAE=90°，再根據(jù)切線的判定定理推出即可；
（2）作直徑AM，連接CM，根據(jù)圓周角定理求出∠M=∠B，∠ACM=90°，求出∠MAC+∠CAE=90°，再根據(jù)切線的判定推出即可．

解答 解：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC，
理由是：①∵∠BAE=90°，
∴AE⊥AB，
∵AB是直徑，
∴EF是⊙O的切線；
②∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵∠EAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，
即AE⊥AB，
∵AB是直徑，
∴EF是⊙O的切線；
                                                 
（2）EF是⊙O的切線．                                             

證明：作直徑AM，連接CM，
則∠ACM=90°，∠M=∠B，
∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°，
∵∠CAE=∠B，
∴∠CAM+∠CAE=90°，
∴AE⊥AM，
∵AM為直徑，
∴EF是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，切線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，注意：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線．