Question

15．如圖，△ABC中，AB=AC，⊙O是的外接圓，BD⊥AC于點D，交⊙O于點F，AO的延長線交BD于點E，連接AF．
（1）求證：AE=AF；
（2）若sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，AE=5，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知得出∠CAF=∠CAE，進而得出△EAD≌△FAD，即可得出答案；
（2）直接利用已知結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出EF的長．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴AE⊥BC，
∴∠EAC+∠C=90°，
又∵∠DBC+∠C=90°，∠EAC=∠CBD，
∴∠CBD=∠CAF，
∴∠CAF=∠CAE
在△EAD和△FAD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}\\{AD=AD}\\{∠EDA=∠FDA}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△FAD（ASA），
∴AE=AF；

（2）解：∵sin∠BAC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
設BD=4a，AB=5a，則AD=3a，CD=2a，
∵∠EAC=∠CBD，
∠ADE=∠BDC，
∴Rt△DAE∽Rt△DBC，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{DC}$，DE=$\frac{3}{2}$a，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$a，
∵AE=5
∴$\frac{3\sqrt{5}}{2}$a=5，
解得：a=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴EF=2DE=3a=2$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確用未知數(shù)表示出各邊長是解題關鍵．