Question

如圖，點E是?ABCD邊AD上一點，且AE=

1

2

ED，BA、CE的延長線交于點F，BE與AC相交于點O，證明：
（1）AB=2AF；
（2）S_△CED=8S_△AOE；
（3）3S_△CED=4S_△AFC．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質

專題：證明題

分析：（1）利用平行線分線段成比例定理得出

AF

BF

=

AE

BC

=

1

3

，進而得出答案；
（2）利用三角形面積關系以及相似三角形的性質得出即可；
（3）利用同一未知數(shù)表示出各三角形面積進而得出答案．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AE=

1

2

ED，
∴AE=

1

3

BC，
∴

AF

BF

=

AE

BC

=

1

3

，
∴

AF

AB

=

1

2

，
∴AB=2AF；

（2）∵AE=

1

2

ED，
∴S_△AEC：S_△CDE=1：2，
∵AE∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∵

AE

BC

=

AO

CO

=

1

3

，
∴

S△AOE

S△EOC

=

1

3

，
∴

S△AOE

S△AEC

=

1

4

，
∴S_△CED=8S_△AOE；

（3）∵由（1）得

AF

AB

=

1

2

，
∴

S△FAE

S△AEC

=

1

2

，
設S_△FAE=x，則S_△AEC=2x，
∵AE=

1

2

ED，
∴S_△AEC=

1

2

S_△CDE，
∴S_△CDE=4x，
∴3S_△CED=4S_△AFC．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質，熟練利用三角形邊的關系得出面積關系是解題關鍵．