Question

3．（1）請(qǐng)你根據(jù)下面畫(huà)圖要求，在圖①中完成畫(huà)圖操作并填空．
如圖①，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠PAM=∠A．
操作：（1）延長(zhǎng)BC．
（2）將∠PAM繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°后，射線(xiàn)AM交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．
（3）過(guò)點(diǎn)D作DQ∥AB．
（4）∠PAM旋轉(zhuǎn)后，射線(xiàn)AP交DQ于點(diǎn)G．
（5）連結(jié)BG．
結(jié)論：$\frac{AB}{AG}$=$\frac{1}{2}$．
（2）如圖②，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=36°，進(jìn)行如下操作：將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α度角，并使各邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的n倍（n＞1），得到△AB′C′．當(dāng)點(diǎn)B、C、B′在同一條直線(xiàn)上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形時(shí)（如圖③），求a和n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出△ABC～△AGD，設(shè)AB為2，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)得出AD=2$\sqrt{3}$，進(jìn)一步得出AG=4，可得$\frac{AB}{AG}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得a=36°，又由△ABC∽△AB′C′，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，繼而求得答案．

解答 解：（1）如圖：
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠PAM=∠A=30°，
∵∠PAM繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，
∴∠BAG=60°，△ABC～△AGD，
∴∠GAD=∠BAC=∠MAG=30°，
∴△BAD是Rt△，∠ABD=60°，
∴∠ADB=30°，
設(shè)AB為2，則可得AD=$2\sqrt{3}$，
∵DQ∥AB，∠BAD=90°
∴∠ADG=90°，
∵∠GAD=30°，AD=$2\sqrt{3}$，
∴AG=4，
∴$\frac{AB}{AG}$=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；

（2）∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，AB=AC
∴∠ABC=72°．
∴∠B′AC′=∠BAC=36°，
∴∠CAB′=36°，
∴α=180°-72°-36°=72°；
∴∠B′AC′=∠BAC=36°，而∠B=∠AB′C′，
∴△ABC∽△AB′C′，
∴AB：BB′=CB：AB，
∴AB²=CB•AB′，
而 AB=1，
BC=2ABsin18°≈0.618，
所以可得n=$\frac{AB′}{BC}=\frac{\frac{1}{0.618}}{0.618}≈2.62$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查幾何變換問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出邊和角的關(guān)系，同時(shí)利用平行四邊形的性質(zhì)分析．