Question

9．已知：正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AE延長(zhǎng)CD到F，使得DF=BE，連接AF，EF，過點(diǎn)A作AP⊥EF，連接PD．

（1）如圖1，若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，判斷△AEF的形狀，并說明理由；
（2）如圖1，若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊BC的延長(zhǎng)線上，求證：∠PDF=45°；
（3）如圖2，若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊BC之間使得∠AEB=60°，求∠APD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△AEF是等腰直角三角形．只要證明△ABE≌△ADF，推出∠BAE=∠DAF，AE=AF，推出∠EAF=∠BAD=90°，即可證明．
（2）只要證明△AOD∽△FOP，得$\frac{OA}{OF}$=$\frac{OD}{OP}$，即$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OF}{OP}$由∠AOF=∠POD，推出△AOF∽△DOP，推出∠PDO=∠FAO=45°，即可解決問題．
（3）首先證明△ABE≌△ADF，推出∠DAF=∠BAE=30°，由△AOF∽△POD，推出∠DPO=∠FAO=30°，即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：△AEF是等腰直角三角形．
理由：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ABE=∠BAD=∠ADF=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（2）如圖1中，
∵△AEF是等腰三角形，AP⊥EF，
∴PF=PE，
∴PF=PE=AP，
∴∠FAO=45°，
∵∠ADO=∠OPF，∠AOD=∠FOP，
∴△AOD∽△FOP，
∴$\frac{OA}{OF}$=$\frac{OD}{OP}$，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OF}{OP}$，∵∠AOF=∠POD，
∴△AOF∽△DOP，
∴∠PDO=∠FAO=45°，
∴∠PDF=45°

（3）如圖2中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ABE=∠BAD=∠ADF=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵∠AEB=60°∴∠BAE=∠DAF=30°，
∵AP⊥EF，
∠APO=∠ODF=90°，∠AOP=∠FOD，
∴△AOD∽△FOP，
∴$\frac{OA}{OF}$=$\frac{OP}{OD}$，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OF}{OD}$，∵∠AOF=∠POD，
∴△AOF∽△POD，
∴∠DPO=∠FAO=30°，
∴∠APD=∠APF+∠FPD=90°+30°=120°

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用相似三角形證明角相等，屬于中考?jí)狠S題．