Question

15．在矩形ABCD中，AC，BD交于點O，直線α經(jīng)過點O，且α⊥BD交AD于E點，交BC于F點，
（1）若CF=2，BC比CD大3，求BF的長度．
（2）若∠DBC=30°，直線α沿射線ED的方向平移．設(shè)△OBF的面積為S₁，直線α在四邊形OFCD中掃過的面積為S₂，x=S₂：S₁，求x的范圍；
（3）在（1）的條件下，若M、N分別在線段BO、BF上的動點，直接寫出FM+MN的最小值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接DF，設(shè)CD=x，則BC=x+3．首先證明DF=BF=x+1，在Rt△DFC中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題；
（2）如圖2中，連接DF．利用相似三角形的性質(zhì)求出，$\frac{{S}_{△BOF}}{{S}_{四邊形ODCF}}$=$\frac{1}{2}$的值，即可解決問題；
（3）如圖3中，連接EM，作EH⊥BC于H，交BD于K．易證BD垂直平分EF，推出ME=MF，推出MF+MN=EM+MN，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)M與K重合，N與H重合時，MF+MN的值最小，最小值為EH；

解答 解：（1）如圖1中，連接DF，設(shè)CD=x，則BC=x+3．

∵CF=2，
∴BF=BC-CF=x+1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，∵EF⊥BD，
∴BF=DF=x+1．
在Rt△DFC中，∵DF²=CD²+CF²，
∴（x+1）²=x²+2²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴BF=x+1=$\frac{5}{2}$．

（2）如圖2中，連接DF．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴OD=OC，∠BCD=90°，
∵∠OBC=30°，
∴∠ODC=60°，
∴△ODC是等邊三角形，設(shè)CD=OD=OC=OB=a，則BC=$\sqrt{3}$a，
∴∠OBF=∠CBD，∠BOF=∠BCD，
∴△BOF∽△BCD，
∴$\frac{{S}_{△BOF}}{{S}_{△BCD}}$=（$\frac{OB}{BC}$）²=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△BOF}}{{S}_{四邊形ODCF}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$是最大值為2，
∴0＜x≤2．

（3）如圖3中，連接EM，作EH⊥BC于H，交BD于K．

易證BD垂直平分EF，∴ME=MF，
∴MF+MN=EM+MN，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)M與K重合，N與H重合時，MF+MN的值最小，最小值為EH，
∵四邊形ABHE是矩形，
∴EH=AB=$\frac{3}{2}$，
∴MF+MN的最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查幾何變換綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會利用對稱，根據(jù)垂線段最短解決最短問題，屬于中考壓軸題．