Question

3．對于兩個已知圖形G₁、G₂，在G₁上任取一點(diǎn)P，在G₂上任取一點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ的長度最小時，我們稱這個最小的長度為G₁、G₂的“密距”，當(dāng)線段PQ的長度取最大值時，我們稱這個最大的長度為圖形G₁，G₂的“疏距”．請你在學(xué)習(xí)、理解上述定義的基礎(chǔ)上，解決下面的問題：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，4），正方形ABCD的對稱中心點(diǎn)O．
（1）線段AB和CD的“密距”是8，“疏距”是8$\sqrt{2}$．
（2）設(shè)直線y=-$\frac{3}{4}$x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，若線段EF與正方形ABCD的“密距”是1，求它們的“疏距”；
（3）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中有一個四邊形KLMN，將正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，它與四邊形KLMN的“疏距”的最大值為4$\sqrt{2}$+2，在旋轉(zhuǎn)過程中，求它與四邊形KLMN的“密距”的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）線段AB與CD的“密距”是AD或BC的長度；
（2）先求得直線OA的解析式，可知直線EF與OA垂直，故點(diǎn)C到直線EF的距離為“疏距”；
（3）當(dāng)O、K、D在一條直線上時，密距有最小值，當(dāng)OK⊥AD時，密距有最大值．

解答 解：（1）如圖1所示：
由垂線的性質(zhì)可知：線段AB與CD的“密距”是AD或BC的長度，
故“密距”是8．
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
“疏距”是8$\sqrt{2}$；
故答案為：8；8$\sqrt{2}$；
（2）如圖2所示：
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，
將x=4，y=4代入函數(shù)的解析式得4=4k，
解得：k=1，
∵直線EF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+b，
∴直線OB和EF相互垂直．
∵EF與矩形ABCD的“密距”是1，
∴點(diǎn)D到EF的距離最長=8$\sqrt{2}$+1，
即“疏距”=8$\sqrt{2}$+1；
（3）①當(dāng)K在BD上時，
如圖3所示：
正方形ABCD與四邊形KLMN的“疏距”為KB=4$\sqrt{2}$+2，
∴KD=BD-BK=8$\sqrt{2}$-（4$\sqrt{2}$+2）=4$\sqrt{2}$-2，
故最大密距=4$\sqrt{2}$-2；
②當(dāng)OK⊥AD時，
如圖4所示：
正方形ABCD與四邊形KLMN的“密距”有最小值，
∵正方形的邊長為8，
∴O到AD的距離為4，
又由①可知OK=OD-KD=4$\sqrt{2}$-（4$\sqrt{2}$-2）=2，
所以密距的最小值=4-OK=4-2=2，
故密距的范圍為：2≤密距≤4$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了一次函數(shù)解析式的求法、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離等知識；本題綜合性強(qiáng)，根據(jù)題意畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵．題目較為新穎，難度適中．