Question

【題目】（模型介紹）

古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)．他總是先去營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查營(yíng)．如圖①，他時(shí)常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖②，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)與直線交于點(diǎn)，連接，則的和最�。�請(qǐng)你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過(guò)程中，完成解答．理由：如圖③，在直線上另取任一點(diǎn)，連結(jié)，，，∵直線是點(diǎn)，的對(duì)稱軸，點(diǎn)，在上，

（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．

（歸納總結(jié)）

在解決上述問(wèn)題的過(guò)程中，我們利用軸對(duì)稱變換，把點(diǎn)在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中點(diǎn)為與的交點(diǎn)，即，，三點(diǎn)共線）．由此，可拓展為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線同側(cè)兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．

（模型應(yīng)用）

（2）如圖④，正方形的邊長(zhǎng)為4，為的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．

解析：解決這個(gè)問(wèn)題，可借助上面的模型，由正方形對(duì)稱性可知，點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，連結(jié)交于點(diǎn)，則的最小值就是線段的長(zhǎng)度，則的最小值是__________．

（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻到達(dá)蜂的最短路程為_________．

（4）如圖⑥，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，分別連接，，，則的最小值為____________．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4）

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱性即可求解；

（2）根據(jù)正方形的對(duì)稱性知B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是D，連接ED，則ED是的最小值；

（3）先將玻璃杯展開(kāi)，再根據(jù)勾股定理求解即可；

（4）分析知：當(dāng)與垂直時(shí)，值最小，再根據(jù)特殊角計(jì)算長(zhǎng)度即可；

解：（1）根據(jù)對(duì)稱性知：，

故答案為：，，；

（2）根據(jù)正方形的對(duì)稱性知B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是D，連接ED

∴ED是的最小值

又∵正方形的邊長(zhǎng)為4，E是AB中點(diǎn)

∴

∴的最小值是；

（3）由圖可知：螞蟻到達(dá)蜂的最短路程為 的長(zhǎng)度：

∵

∴

∴

（4）∵在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，，將沿射線的方向平移，得到

∴

當(dāng)與垂直時(shí)，值最小

∵

∴四邊形是矩形，

∴

∴