Question

6．已知直線y₁=2$\sqrt{21}$x和直線y₂=-2$\sqrt{21}$x+16$\sqrt{21}$相交與點(diǎn)A，直線y₂與x軸交于點(diǎn)C，D為OA中點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)P在線段OC上以3厘米每秒的速度由O點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△OPD與△CQP是否全等？請(qǐng)說明理由．
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△OPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以?②中的運(yùn)動(dòng)速度由點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的速度從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△OCA三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△OCA的哪條邊上相遇？

Answer 1

分析 （1）①先求得OP=CQ=3厘米，再由點(diǎn)C是直線y₂與x軸交點(diǎn)，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即得線段OC的長度，從而求得CP的長度，再求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，過點(diǎn)A做OC邊上的高，即可得到三角形AOC是等腰三角形，可得∠DOP=∠PCQ，再利用勾股定理可求得OA的長度，因?yàn)镈為OA中點(diǎn)，可求得OD的長度，再利用兩邊及夾角是否對(duì)應(yīng)相等即可判定；②因?yàn)辄c(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，所以O(shè)P≠CQ，又∠DOP=∠PCQ，要使△OPD與△CQP全等，只能0P=CP=4厘米，根據(jù)全等得出CQ=OD=2$\sqrt{85}$厘米，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和CQ的長即可求得Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，利用路程問題可列方程，解出即可得時(shí)間，再利用所求時(shí)間求得點(diǎn)P的路程即可得到所在的邊．

解答 解：（1）①∵經(jīng)過1秒，
∴OP=CQ=3厘米，
如圖，過點(diǎn)A做AB⊥x軸垂足為
∵點(diǎn)C是直線y₂與x軸交點(diǎn)，
∴令y=0，代入y₂=-2$\sqrt{21}$x+16$\sqrt{21}$得，
-2$\sqrt{21}$x+16$\sqrt{21}$=0
解得，x=8，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），
∴OC=8厘米，
∵點(diǎn)A是直線y₁=2$\sqrt{21}$x和直線y₂=-2$\sqrt{21}$x+16$\sqrt{21}$交點(diǎn)
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1=}2\sqrt{21}x}\\{{y}_{2}=-2\sqrt{21}x+16\sqrt{21}}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=8\sqrt{21}}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8$\sqrt{21}$），
∴OB=BC=4厘米，
∴AB垂直平分OC，
∴OA=CA，
∴∠DOP=∠PCQ，
∴在Rt△OAB中，OA=$\sqrt{{OB}^{2}{+AB}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+（8\sqrt{21}）}^{2}}$=4$\sqrt{85}$厘米，
∵D為OA中點(diǎn)，
∴OD=2$\sqrt{85}$厘米，
又∵OC=8厘米，OP=CQ=3厘米，
∴CP=5厘米，
∴△OPD與△CQP中，
OP=CQ=3厘米，∠DOP=∠PCQ，CP≠OD，
∴△OPD與△CQP不全等；
②∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，
∴OP≠CQ，
又∵∠DOP=∠PCQ，
可能使△OPD與△CQP全等，只能OP=CP=4厘米
∵△OPD≌△CPQ，
∴CQ=OD=2$\sqrt{85}$厘米．
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{4}{3}$秒，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2$\sqrt{85}$÷$\frac{4}{3}$=$\frac{3\sqrt{85}}{2}$（厘米/秒），
∴當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為$\frac{3\sqrt{85}}{2}$厘米/秒時(shí)，能夠使△OPD與△CQP全等；
（2）設(shè)若點(diǎn)Q以?②中的運(yùn)動(dòng)速度由點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的速度從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△OCA三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過x秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△OCA的邊上相遇，
則由題意可列方程，
$\frac{3\sqrt{85}}{2}$x=3x+8$\sqrt{85}$
解得，x=$\frac{1360+32\sqrt{85}}{243}$秒
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為：$\frac{1360+32\sqrt{85}}{243}$×3=$\frac{1360+32\sqrt{85}}{81}$厘米，
∵OC+CA=8+4$\sqrt{85}$≈44，9厘米，$\frac{1360+32\sqrt{85}}{81}$厘米≈20.4厘米，
∴OC＜點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程＜OC+CA，
∴應(yīng)在邊CA上第一次相遇，
∴若點(diǎn)Q以?②中的運(yùn)動(dòng)速度由點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的速度從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△OCA三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過$\frac{1360+32\sqrt{85}}{243}$秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△OCA的邊AC上相遇．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的交點(diǎn)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的知識(shí)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，通過點(diǎn)的坐標(biāo)，求的線段的長度是解題的關(guān)鍵．