Question

11．如圖已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx-8k的圖象與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式（用含a的代數(shù)式表示）．
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分．若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求⊙D的半徑的長(zhǎng)及拋物線的解析式．
（3）設(shè)點(diǎn)B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P，使∠POA：∠OBA=2：3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線y=ax²+bx得出b=-8a，進(jìn)而可得出其解析式；
（2）設(shè)⊙D的劣弧沿x軸翻折后所在的圓為⊙D′，根據(jù)AD與⊙D′相切得出∠D′AD=90°，再由AD′=AD得出△ADD′是等腰Rt△根據(jù)AO⊥DD′可知∠OAD=45°，由AO=8得出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)求出a的值，繼而可得出結(jié)論；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且x＞0，y＞0，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-2x上時(shí)根據(jù)點(diǎn)B是⊙D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)，∠ODA=90°可知∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ADO=45°．再由∠POA：∠OBA=2：3得出∠POA=$\frac{2}{3}$∠OBA=30°．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，由tan∠POE=$\frac{EP}{OE}$可知$\frac{y}{x}$=tan30°，故y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．再代入拋物線的解析式求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵令y=0，kx-8k=0，
∴x=8，
∴A（8，0）．
∵A在拋物線y=ax²+bx上，
∴64a+8b=0，
∴b=-8a，
∴y=ax²-8ax；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)⊙D的劣弧沿x軸翻折后所在的圓為⊙D′，
∵AD與⊙D′相切，則∠D′AD=90°，AD′=AD，
∴△ADD′是等腰Rt△．
又∵AO⊥DD′，
∴∠OAD=45°，
∵AO=8，
∴D（4，-4）
∵D是拋物線的頂點(diǎn)，
∴-4=16a-32a，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-2x；

（3）存在．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且x＞0，y＞0，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-2x上時(shí)（如圖）
∵點(diǎn)B是⊙D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)，∠ODA=90°，
∴∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ADO=45°．
∵∠POA：∠OBA=2：3，
∴∠POA=$\frac{2}{3}$∠OBA=30°．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E．
∴tan∠POE=$\frac{EP}{OE}$，
∴$\frac{y}{x}$=tan30°，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{1}{4}$x²-2x，
∴x₁=0（舍去），x₂=8+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴y=$\frac{4+8\sqrt{3}}{3}$＞0，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{4+8\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、切線的性質(zhì)等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義解答．