Question

2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④S_△CEF=2S_△ABE，其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設(shè)EC=x，BE=y，利用三角形的面積公式分別表示出S_△CEF和2S_△ABE，再通過比較大小就可以得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正確）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正確），
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正確）．
設(shè)EC=x，由勾股定理，得
EF=$\sqrt{2}$x，CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AC=$\frac{\sqrt{6}x+\sqrt{2}x}{2}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}x+x}{2}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}x+x}{2}$-x=$\frac{\sqrt{3}x-x}{2}$，
∵S_△CEF=$\frac{{x}^{2}}{2}$，
S_△ABE=$\frac{\frac{\sqrt{3}x-x}{2}•\frac{\sqrt{3}x+x}{2}}{2}$=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∴2S_△ABE=$\frac{{x}^{2}}{2}$=S_△CEF，（故④正確）．
綜上所述，正確的有4個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵．