Question

11．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放（點(diǎn)P與點(diǎn)B重合），點(diǎn)F，B（P），C在同一直線上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°．如圖②，△EFP從圖①的位置出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，EP與AB交于點(diǎn)G；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BD，垂足為H，交AD于點(diǎn)M，連接AF，PQ，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，△EFP也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BD？
（2）設(shè)五邊形AFPQM的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使S_{五邊形AFPQM}：S_矩形ABCD=9：8？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在線段PG的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)PQ∥BD時(shí)，$\frac{CQ}{CD}$=$\frac{CP}{CB}$，可得$\frac{t}{6}$=$\frac{8-t}{8}$，解方程即可；
（2）如圖2中，當(dāng)0＜t＜6時(shí)，S_{五邊形AFPQM}=S_梯形AFCD-S_△DMQ-S_△PQC，由此計(jì)算即可解決問(wèn)題；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)題意列出方程即可解決問(wèn)題；
（4）如圖3中，連接MG、MP，作MK⊥BC于K．利用勾股定理，根據(jù)MG=MP，列出方程即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）如圖1中，

當(dāng)PQ∥BD時(shí)，$\frac{CQ}{CD}$=$\frac{CP}{CB}$，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{8-t}{8}$，
∴t=$\frac{24}{7}$，
∴t=$\frac{24}{7}$s時(shí)，PQ∥BD．

（2）如圖2中，

當(dāng)0＜t＜6時(shí)，S_{五邊形AFPQM}=S_梯形AFCD-S_△DMQ-S_△PQC
=$\frac{1}{2}$（8+8-t+8）•6-$\frac{1}{2}$•（6-t）•$\frac{3}{4}$（6-t）-$\frac{1}{2}$•（8-t）•t
=$\frac{1}{8}$t²-$\frac{5}{2}$t+$\frac{117}{2}$．

（3）如圖2中，假設(shè)存在，則有（$\frac{1}{8}$t²-$\frac{5}{2}$t+$\frac{117}{2}$．）：48=9：8，
解得t=2或18（舍棄），
∴t=2s時(shí)，S_{五邊形AFPQM}：S_矩形ABCD=9：8．

（4）存在．
理由：如圖3中，連接MG、MP，作MK⊥BC于K．

易知：AG=6-$\frac{3}{4}$t．DQ=6-t，DM=KC=$\frac{3}{4}$（6-t），PK=8-t-$\frac{3}{4}$（6-t），MK=CD=6，
∵點(diǎn)M在PG的垂直平分線上，
∴MG=MP，
∴AG²+AM²=PK²+MK²，
∴（6-$\frac{3}{4}$t）²+[8-$\frac{3}{4}$（6-t）]²=6²+[8-t-$\frac{3}{4}$（6-t）]²，
解得t=$\frac{32}{17}$或0（舍棄），
∴t=$\frac{32}{17}$s時(shí)，點(diǎn)M在線段PG的垂直平分線上

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、平行線分線段成比例定理、勾股定理、多邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求多邊形面積，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．