Question

12．如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AB的長為6cm，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α（α為銳角）后得到△AB′C′．使得B′C′交AC邊于點(diǎn)D，點(diǎn)D不與點(diǎn)B′重合，則有下列結(jié)論：①∠ADB′=45°+α；②∠α＜45°；③若AD的長為整數(shù)，則AD等于7cm；④當(dāng)α=15°時(shí)，陰影部分的面積為6$\sqrt{3}$cm²．其中正確結(jié)論的序號是①②④（把所有正確的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=$\sqrt{2}$AB=6$\sqrt{2}$，∠BAC=∠C=45°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAB′=α，AB′=AB=6，則可對②進(jìn)行判斷；由于∠B′AD=45°-α，則利用互余可對①進(jìn)行判斷；利用AD＞AB′，AD＜AC得到6＜AD＜6$\sqrt{2}$，則可對③進(jìn)行判斷；當(dāng)α=15°時(shí)，∠B′AD=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到B′D=2$\sqrt{3}$，然后根據(jù)三角形面積公式可對④進(jìn)行判斷．

解答 解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=6$\sqrt{2}$，∠BAC=∠C=45°，
∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α（α為銳角）后得到△AB′C′．
∴∠BAB′=α，AB′=AB=6，
即∠α＜45°，所以②正確；
∴∠B′AD=45°-α，
∴∠ADB′=90°-∠B′AD=90°-（45°-α）=45°+α，所以①正確；
∵AD＞AB′，AD＜AC，
∴6＜AD＜6$\sqrt{2}$，
∴若AD的長為整數(shù)，則AD等于7cm或8cm，所以③錯(cuò)誤；
當(dāng)α=15°時(shí)，∠B′AD=30°，
∴B′D=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×6=6$\sqrt{3}$（cm²），所以④正確．
故答案為①②④．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．