Question

18．閱讀理解：實數(shù)a＞0，b＞0，∵（$\sqrt{a}$-$\sqrt}$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，即a+b≥2$\sqrt{ab}$．若ab=m（m為定值），則a+b≥2$\sqrt{m}$，當且僅當a=b時等式成立，即a=b時，a+b=2$\sqrt{m}$，∴當a=b=$\sqrt{m}$時，a+b取得最小值（填“最大”或“最小”）．
理解應用：函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0），當x=$\sqrt{2}$時，y_最小值=2$\sqrt{2}$．
拓展應用：如圖，雙曲線y=$\frac{4}{x}$經(jīng)過矩形OABC的對角線交點P，求矩形OABC的最小周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a+b≥2$\sqrt{m}$，當且僅當a=b時等式成立，即a=b時，a+b=2$\sqrt{m}$，進行判斷即可；
（2）根據(jù)y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0），當x=$\frac{2}{x}$時，y有最小值，進行計算即可；
（3）先過P作PD⊥OA，設(shè)$P（x，\frac{4}{x}）$，則$OD=x，PD=\frac{4}{x}$，根據(jù)${C_{矩形OABC}}=2（OA+AB）=4（x+\frac{4}{x}）$，即可得到矩形OABC的最小周長．

解答 解：（1）∵a+b≥2$\sqrt{m}$，
∴當a=b=$\sqrt{m}$時，a+b取得最小值，
故答案為：最小；

（2）∵y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0），
∴當x=$\frac{2}{x}$時，y有最小值，
即x=$\sqrt{2}$時，y_最小值=$\sqrt{2}$+$\frac{2}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}，2\sqrt{2}$；

（3）如圖所示，過P作PD⊥OA，
設(shè)$P（x，\frac{4}{x}）$，則$OD=x，PD=\frac{4}{x}$，
∵四邊形ABCO是矩形，
∴$OA=2x，AB=\frac{8}{x}$，
∴${C_{矩形OABC}}=2（OA+AB）=4（x+\frac{4}{x}）$，
∵x＞0且x•$\frac{4}{x}$=4為定值，
∴當x=$\frac{4}{x}$時，即x=2時，x+$\frac{4}{x}$有最小值4，
∴矩形OABC的最小周長為16．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，解決問題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及非負數(shù)的性質(zhì)．