Question

20．如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn)．若⊙O的半徑為5，則GE+FH的最大值為7.5．

Answer 1

分析 首先連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，進(jìn)而判斷出△AOB為等邊三角形；然后根據(jù)⊙O的半徑為5，可得AB=OA=OB=5，再根據(jù)三角形的中位線定理，求出EF的長(zhǎng)度；最后判斷出當(dāng)弦GH是圓的直徑時(shí)，它的值最大，進(jìn)而求出GE+FH的最大值是多少即可．

解答 解：如圖1，連接OA、OB，
，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∵⊙O的半徑為5，
∴AB=OA=OB=5，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵當(dāng)弦GH是圓的直徑時(shí)，它的最大值為：5×2=10，
∴GE+FH的最大值為：10-$\frac{5}{2}$=7.5．
故答案為：7.5．

點(diǎn)評(píng) 本題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．