Question

19．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，A是$\widehat{BDC}$的中點(diǎn)，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、E，且$\widehat{BF}=\widehat{AD}$．
（1）求證：△ADC∽△EBA；
（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）欲證△ADC∽△EBA，只要證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就可以．可以轉(zhuǎn)化為證明且$\widehat{BF}=\widehat{AD}$就可以；
（2）A是$\widehat{BDC}$的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則AC=AB=8，根據(jù)△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，求得AE，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義就可以求出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵$\widehat{BF}=\widehat{AD}$，
∴∠DCA=∠BAE．
∴△ADC∽△EBA；

（2）解：∵A是$\widehat{BDC}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$
∴AB=AC=8，
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC，$\frac{DC}{AB}=\frac{AC}{AE}$，
即$\frac{5}{8}=\frac{8}{AE}$，
∴AE=$\frac{64}{5}$，
∴tan∠CAD=tan∠AEC=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{8}{\frac{64}{5}}$=$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的綜合題，涉及到弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．