Question

7．現(xiàn)有一副直角三角板（角度分別為30°、60°、90°和45°、45°、90°）如圖（1）放置，其中一塊三角板的直角邊AC垂直于數(shù)軸，AC的中點(diǎn)過數(shù)軸的原點(diǎn)O，AC=8，斜邊AB交數(shù)軸于點(diǎn)G，點(diǎn)G對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)是4；另一塊三角板的直角邊AE交數(shù)軸于點(diǎn)F，斜邊AD交數(shù)軸于點(diǎn)H．
（1）如果△AGH的面積是10，△AHF的面積是8，則點(diǎn)F對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)是-5，點(diǎn)H對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)是-1；
（2）如圖（2），設(shè)∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M，若∠HAO=α，試用α來表示∠M的大��；
（3）如圖（2），設(shè)∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M，設(shè)∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點(diǎn)N，求∠N+∠M的值．

Answer 1

分析 （1）由于∠OCB=90°，則OG=OA=4，再根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出GH=5，F(xiàn)H=4，所以O(shè)H=1，OF=5，所以點(diǎn)F對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是-5，點(diǎn)H對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是-1；
（2）由∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M得到∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，則2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，所以∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$α+22.5°；
（3）根據(jù)（2）中證明方法，可得到∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，再根據(jù)∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，即可得到∠M+∠N=97.5°．

解答 解：（1）如圖1，∵AC的中點(diǎn)過數(shù)軸的原點(diǎn)O，AC=8，
∴AO=4，
∵△AGH的面積是10，
∴$\frac{1}{2}$×4×GH=10，
解得GH=5，
又∵∠AOG=90°，∠OAG=45°，
∴OG=OA=4，
∴OH=1，
∴點(diǎn)H對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是-1，
∵△AHF的面積是8，
∴$\frac{1}{2}$FH•4=8，
解得FH=4，
∴OF=OH+FH=5，
∴點(diǎn)F對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是-5，
故答案為：-5，-1；

（2）如圖2，∵∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M，
∴∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，
∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，即2∠M=∠HAG，
∴∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$（α+45°）=$\frac{1}{2}$α+22.5°；

（3）如圖2，∵∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點(diǎn)N，
∴∠NFO=$\frac{1}{2}$∠EFO，∠NOF=$\frac{1}{2}$∠COF，
∴△FON中，∠N=180°-（∠NFO+∠NOF）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EFO+∠COF）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠AFO+180°-∠AOF）
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠AFO-∠AOF）
=180°-$\frac{1}{2}$[360°-（180°-∠FAO）]
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠FAO）
=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO，
即∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH
=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH
=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，
又∵∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，
∴∠M+∠N=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH+$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°=97.5°．

點(diǎn)評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形面積的計(jì)算等知識的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．