Question

18．已知x₁，x₂是方程2x²-5x+1=0的兩實(shí)數(shù)根，求下列各式的值：
（1）x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（3）（x₁-x₂）²．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．再將（1）（2）（3）中的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成只含x₁+x₂與x₁•x₂的算式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²-5x+1=0的兩實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．
（1）x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂=x₁•x₂•（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{5}{2}）^{2}-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{21}{2}$；
（3）（x₁-x₂）²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂=$（\frac{5}{2}）^{2}$-4×$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)跟系數(shù)的關(guān)系找出兩根之和與兩根之積是關(guān)鍵．