Question

3．如圖，半圓O與等腰直角三角形兩腰CA、CB分別切于D、E兩點(diǎn)，直徑FG在AB上，若BG=$\sqrt{2}$-1，則△ABC的周長(zhǎng)為4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先連接OD，OE，易證得四邊形ODCE是正方形，△OEB是等腰直角三角形，首先設(shè)OE=r，由OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$r，可得方程：$\sqrt{2}$-1+r=$\sqrt{2}$r，解此方程，即可求得答案．

解答 解：連接OD，OE，
∵半圓O與等腰直角三角形兩腰CA、CB分別切于D、E兩點(diǎn)，
∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OE，
∵∠A=∠B=45°，
∴∠EOB=∠EBO=45°，
∴OE=EB，
∴△OEB是等腰直角三角形，
設(shè)OE=r，
∴BE=OE=OG=r，
∴OB=OG+BG=$\sqrt{2}$-1+r，
∵OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$r，
∴$\sqrt{2}$-1+r=$\sqrt{2}$r，
∴r=1，
∴AC=BC=2r=2，AB=2OB=2×（1+$\sqrt{2}$-1）=2$\sqrt{2}$．
∴△ABC的周長(zhǎng)為：AC+BC+AB=4+2$\sqrt{2}$．
故答案為：4+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．