Question

如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，在A處有一所中學(xué)，AP=160米，拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行駛，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)有噪音影響．
（1）學(xué)校是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如果受到影響，則影響時(shí)間是多長(zhǎng)？

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用

專題：

分析：（1）作AH⊥MN于H，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH=

1

2

PA=80m，由于這個(gè)距離小于100m，所以可判斷拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校受到噪音影響；然后以點(diǎn)A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于B、C，根據(jù)垂徑定理得到BH=CH，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=60m，則CD=2BC=120m；
（2）根據(jù)速度公式計(jì)算出拖拉機(jī)在線段BC上行駛所需要的時(shí)間．

解答：解：（1）學(xué)校受到噪音影響．理由如下：
作AB⊥MN于B，如圖，
∵PA=160m，∠QPN=30°，
∴AB=

1

2

PA=80m，
而80m＜100m，
∴拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校受到噪音影響，

（2）以點(diǎn)A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于B、C，如圖，
∵AH⊥BD，
∴CB=BD，
在Rt△ABC中，AC=100m，AD=80m，
CB=

AC2-AB2

=60m，
∴CD=2BC=120m，
∵拖拉機(jī)的速度5m/s，
∴拖拉機(jī)在線段BC上行駛所需要的時(shí)間=120÷5=24（秒），
∴學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；當(dāng)直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了垂徑定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．