Question

18．如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A的直線與y軸交干點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)M，且tan∠BAM=1．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)Q在拋物線上，且S_△QOC=4S_△AOC，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，E為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知的兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式即可求得兩個(gè)待定系數(shù)，從而確定二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x²+2x+3），根據(jù)S_△QOC=4S_△AOC求得|x|=4，從而求得x的值，代入點(diǎn)Q即可求解；
（3）分AE=PE時(shí)、當(dāng)AP=PE時(shí)、當(dāng)AP=AE時(shí)三種情況利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得P（-3，0）或（-2，-3）．

解答 解：（1）二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9=0-3b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3；

（2）設(shè)x=0，
∴y=3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），
∵S_△QOC=4S_△AOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，
x=±4，
當(dāng)x=4時(shí)，x²+2x-3=16+8-3=21；
當(dāng)x=-4時(shí)，x²+2x-3=16-8-3=5，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，21）或（-4，5）；

（3）在Rt△AOD中，
∵tan∠OAD=$\frac{OD}{OA}$=1，
∴OD=OA，
∴∠BAD=45°，
分情況討論：①AE=PE時(shí)，
∵△APE為等腰直角三角形，
∴∠EPA=∠EAP=45°，
∵∠DAB=45°，
∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合．
∴P（-3，0）；
②當(dāng)AP=PE時(shí)，則∠PEA=∠EAP=45°，
∴∠EPA=90°，
此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，P（-3，0）；

③當(dāng)AP=AE時(shí)，則∠EAP=90°，
設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)F，
∵∠OAP=∠OFA=45°，
∴OA=OF=1，
∴F（0，-1），
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{-1=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AP的解析式為y=x-1，
設(shè)P（x，x²+2x-3），
∴x²+2x-3=x-1，
解得：x=1（不合題意），x=-2，
∴P（-2，-3），
綜上所述，P（-3，0）或（-2，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．