Question

P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=5，PB=4，PC=3，求∠BPC．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=PB=4，AD=PC=3，∠BPC=∠ADB，判斷出△BDP是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得PD=PB，∠BDP=60°，利用勾股定理逆定理判斷出△ADP是直角三角形，∠ADP=90°，然后求出∠ADB，即可得解．

解答：解：如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BD=PB=4，AD=PC=3，∠BPC=∠ADB，
所以，△BDP是等邊三角形，
所以，PD=PB=4，∠BDP=60°，
∵AD²+DP²=3²+4²=25，PA²=5²=25，
∴AD²+DP²=PA²，
∴△ADP是直角三角形，∠ADP=90°，
∴∠ADB=60°+90°=150°，
∴∠BPC=150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理逆定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出直角三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．