Question

14．如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，分別過點C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點E．
（1）求證：四邊形ODEC是矩形；
（2）當(dāng)∠ADB=60°，AD=2$\sqrt{3}$時，求tan∠EAD的值．

Answer 1

分析 （1）先證四邊形ODEC是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的對角線互相垂直，得到∠DOC=90°，根據(jù)矩形的定義即可判定四邊形ODEC是矩形．
（2）如圖，過點E作EF⊥AD，交AD的延長線于F，構(gòu)建直角△DEF，在該直角三角形中，∠F=90°，∠EDF=30°，易求DF的長度．所以通過解Rt△AFE來求tan∠EAD的值．

解答 （1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形ODEC是平行四邊形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°．
∴四邊形ODEC是矩形．

（2）如圖，過點E作EF⊥AD，交AD的延長線于F．
∵AC⊥BD，∠ADB=60°，AD=2$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{3}$，AO=OC=3．
∵四邊形ODEC是矩形，
∴DE=OC=3，∠ODE=90°．
又∵∠ADO+∠ODE+∠EDF=180°，
∴∠EDF=30°．
在Rt△DEF中，∠F=90°，∠EDF=30°．
∴EF=$\frac{1}{2}DE=\frac{3}{2}$．
∴DF=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
在Rt△AFE中，∠DFE=90°，
∴tan∠EAD=$\frac{EF}{AF}=\frac{EF}{AD+DF}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{2\sqrt{3}+\frac{3}{2}\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{7}$．

點評 本題考查了解直角三角形，菱形是性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)．
總結(jié)：判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．