Question

4．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與一次函數(shù)y₁=x+bk的圖象交于A（0，1）、B兩點(diǎn)，C（1，0）為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的表達(dá)式；
（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象和一次函數(shù)y₁=x+bk的圖象；
（3）把（1）中的二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象平移后得到新的二次函數(shù)y₂=ax²+bx+c+m（a≠0，m為常數(shù)）的圖象，定義新函數(shù)f：“當(dāng)自變量x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y₁或y₂，如果y₁≠y₂，函數(shù)f的函數(shù)值等于y₁、y₂中的較小值；如果y₁=y₂，函數(shù)f的函數(shù)值等于y₁（或y₂）．”當(dāng)新函數(shù)f的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²，把點(diǎn)A（0，1）代入，利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）求得一次函數(shù)的解析式，在同一坐標(biāo)系中畫出圖象即可；
（3）二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象平移得到新的二次函數(shù)y₂=ax²+bx+c+m（a≠0，m為常數(shù)）的圖象的過程中，與x軸的交點(diǎn)由兩點(diǎn)變?yōu)槿�點(diǎn)，由三點(diǎn)變?yōu)閮牲c(diǎn)，從而求得m的取值范圍．

解答 解：（1）∵C（1，0）為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²，
由拋物線過點(diǎn)A（0，1），可得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2x+1；
（2）由直線過點(diǎn)A（0，1），可得bk=1，
∴一次函數(shù)為y₁=x+1，
如圖：

（3）如圖所示：當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，即m=0時(shí)，新函數(shù)f的圖象與x軸有兩個(gè)個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)拋物線與直線交于（-1，0）時(shí)，
0=（-1）²-2×（-1）+1+m，解得m=-4，
即m=-4時(shí)新函數(shù)f的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

故當(dāng)新函數(shù)f的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為-4＜m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線解析式的求法、二次函數(shù)的圖象、拋物線和x軸的交點(diǎn)以及拋物線的相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用．關(guān)鍵是熟練掌握拋物線頂點(diǎn)式與交點(diǎn)式與性質(zhì)之間的聯(lián)系．