Question

5．如圖，直線y=$\frac{3}{4}$x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax²-$\frac{3}{4}$x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BEC面積最大時(shí)，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值；
（3）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸交直線BC于點(diǎn)N，設(shè)P為直線BC上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥ND，交BC上方拋物線于點(diǎn)F，問在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使以P，F(xiàn)，D，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定B（0，3），C（4，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；
（2）作EE′∥y軸交BC于E′，如圖1，設(shè)E（t，-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{4}$t+3），則E′（t，$\frac{3}{4}$t+3），則EE′=-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{2}$t，所以S_△BCE=-$\frac{3}{4}$t²-3t，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（3）如圖2，先利用配方法得到D（-1，$\frac{27}{8}$），再利用一次函數(shù)解析式求出N（-1，$\frac{9}{4}$），則DN=$\frac{9}{8}$，設(shè)P（m，$\frac{3}{4}$m+3），則F（m，-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+3），所以PF=-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{2}$m，然后根據(jù)平行四邊形的判定得到-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{2}$m=$\frac{9}{8}$，再方程求出m即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{3}{4}$x+3=3，則B（0，3），
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-4，則（-4，0），
把B（0，3），（-4，0）代入y=ax²-$\frac{3}{4}$x+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{16a+4+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3；

（2）作EE′∥y軸交BC于E′，如圖1，
設(shè)E（t，-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{4}$t+3），則E′（t，$\frac{3}{4}$t+3），
∴EE′=-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{4}$t+3-（$\frac{3}{4}$t+3）=-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{2}$t，
∴S_△BCE=S_△ECE′+S_△BEE′=$\frac{1}{2}$×4×EE′=-$\frac{3}{4}$t²-3t=-$\frac{3}{4}$（t+2）²+3
當(dāng)t=-2時(shí)，S_△BCE有最大值3，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3）；

（3）存在．
如圖2，y=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=-$\frac{3}{8}$（x+1）²+$\frac{27}{8}$，則D（-1，$\frac{27}{8}$），
當(dāng)x=-1時(shí)，y=$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{9}{4}$，則N（-1，$\frac{9}{4}$），
∴DN=$\frac{27}{8}$-$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{8}$，
設(shè)P（m，$\frac{3}{4}$m+3），則F（m，-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+3），
則PF=-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+3-（$\frac{3}{4}$m+3）=-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{2}$m，
∵PF∥DN，
∴當(dāng)PF=DN時(shí)，四邊形DNPF為平行四邊形，
即-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{2}$m=$\frac{9}{8}$，
整理得m²+4m+3=0，解得m₁=-1（舍去），m₂=-3，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；會(huì)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形的關(guān)系．